Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18613 / 19191
↖ ↑ ↗
← S 29.449165°
E 24.488526°		 ← 1 063.74 m → S 29.449165°
E 24.499511°		 →
↑
1 063.70 m
↓
↑
1 063.70 m
↓
S 29.458731°
E 24.488526°		 ← 1 063.64 m →
1 131 448 m²		 S 29.458731°
E 24.499511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568038940429688 y=0.585678100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568038940429688 × 215)
    floor (0.568038940429688 × 32768)
    floor (18613.5)     		tx = 18613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585678100585938 × 215)
    floor (0.585678100585938 × 32768)
    floor (19191.5)     		ty = 19191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18613 / 19191 ti = "15/18613/19191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18613/19191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18613 ÷ 215
    18613 ÷ 32768     		x = 0.568023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19191 ÷ 215
    19191 ÷ 32768     		y = 0.585662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568023681640625 × 2 - 1) × π
    0.13604736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42740540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585662841796875 × 2 - 1) × π
    -0.17132568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.538235508933991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42740540} λ = 0.42740540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.538235508933991))-π/2
    2×atan(0.583777414165411)-π/2
    2×0.528405719307976-π/2
    1.05681143861595-1.57079632675     		φ = -0.51398489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42740540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.488526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51398489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.449165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18613 KachelY 19191 0.42740540 -0.51398489 24.488526 -29.449165
    Oben rechts KachelX + 1 18614 KachelY 19191 0.42759714 -0.51398489 24.499511 -29.449165
    Unten links KachelX 18613 KachelY + 1 19192 0.42740540 -0.51415185 24.488526 -29.458731
    Unten rechts KachelX + 1 18614 KachelY + 1 19192 0.42759714 -0.51415185 24.499511 -29.458731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51398489--0.51415185) × R
    0.000166959999999938 × 6371000     		dl = 1063.70215999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51398489--0.51415185) × R
    0.000166959999999938 × 6371000     		dr = 1063.70215999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42740540-0.42759714) × cos(-0.51398489) × R
    0.000191739999999996 × 0.870792250867009 × 6371000     		do = 1063.73851408066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42740540-0.42759714) × cos(-0.51415185) × R
    0.000191739999999996 × 0.87071015265401 × 6371000     		du = 1063.63822491178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51398489)-sin(-0.51415185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870792250867009-0.87071015265401)×R²
    abs(0.42759714-0.42740540)×8.20982129990933e-05×R²
    0.000191739999999996×8.20982129990933e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.20982129990933e-05×40589641000000     		ar = 1131447.61882771m²