Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18613 / 13322
↖ ↑ ↗
← N 31.858897°
E 24.488526°		 ← 1 037.55 m → N 31.858897°
E 24.499511°		 →
↑
1 037.64 m
↓
↑
1 037.64 m
↓
N 31.849565°
E 24.488526°		 ← 1 037.65 m →
1 076 659 m²		 N 31.849565°
E 24.499511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568038940429688 y=0.406570434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568038940429688 × 215)
    floor (0.568038940429688 × 32768)
    floor (18613.5)     		tx = 18613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406570434570312 × 215)
    floor (0.406570434570312 × 32768)
    floor (13322.5)     		ty = 13322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18613 / 13322 ti = "15/18613/13322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18613/13322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18613 ÷ 215
    18613 ÷ 32768     		x = 0.568023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13322 ÷ 215
    13322 ÷ 32768     		y = 0.40655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568023681640625 × 2 - 1) × π
    0.13604736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42740540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40655517578125 × 2 - 1) × π
    0.1868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.587131146546448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42740540} λ = 0.42740540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587131146546448))-π/2
    2×atan(1.79882045360918)-π/2
    2×1.06341948813013-π/2
    2.12683897626027-1.57079632675     		φ = 0.55604265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42740540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.488526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55604265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.858897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18613 KachelY 13322 0.42740540 0.55604265 24.488526 31.858897
    Oben rechts KachelX + 1 18614 KachelY 13322 0.42759714 0.55604265 24.499511 31.858897
    Unten links KachelX 18613 KachelY + 1 13323 0.42740540 0.55587978 24.488526 31.849565
    Unten rechts KachelX + 1 18614 KachelY + 1 13323 0.42759714 0.55587978 24.499511 31.849565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55604265-0.55587978) × R
    0.000162869999999926 × 6371000     		dl = 1037.64476999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55604265-0.55587978) × R
    0.000162869999999926 × 6371000     		dr = 1037.64476999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42740540-0.42759714) × cos(0.55604265) × R
    0.000191739999999996 × 0.849350560965995 × 6371000     		do = 1037.54587016132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42740540-0.42759714) × cos(0.55587978) × R
    0.000191739999999996 × 0.849436517236074 × 6371000     		du = 1037.65087223835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55604265)-sin(0.55587978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849350560965995-0.849436517236074)×R²
    abs(0.42759714-0.42740540)×8.59562700786798e-05×R²
    0.000191739999999996×8.59562700786798e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.59562700786798e-05×40589641000000     		ar = 1076658.52561481m²