Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18612 / 51352
↖ ↑ ↗
← S 70.887885°
W 77.761230°		 ← 199.98 m → S 70.887885°
W 77.755737°		 →
↑
199.99 m
↓
↑
199.99 m
↓
S 70.889683°
W 77.761230°		 ← 199.96 m →
39 992 m²		 S 70.889683°
W 77.755737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.284004211425781 y=0.783576965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.284004211425781 × 216)
    floor (0.284004211425781 × 65536)
    floor (18612.5)     		tx = 18612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783576965332031 × 216)
    floor (0.783576965332031 × 65536)
    floor (51352.5)     		ty = 51352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18612 / 51352 ti = "16/18612/51352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18612/51352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18612 ÷ 216
    18612 ÷ 65536     		x = 0.28399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51352 ÷ 216
    51352 ÷ 65536     		y = 0.7835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28399658203125 × 2 - 1) × π
    -0.4320068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.35718950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.567138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.78171868507825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35718950} λ = -1.35718950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78171868507825))-π/2
    2×atan(0.168348560326923)-π/2
    2×0.166784666830562-π/2
    0.333569333661123-1.57079632675     		φ = -1.23722699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35718950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.761230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23722699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.887885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18612 KachelY 51352 -1.35718950 -1.23722699 -77.761230 -70.887885
    Oben rechts KachelX + 1 18613 KachelY 51352 -1.35709363 -1.23722699 -77.755737 -70.887885
    Unten links KachelX 18612 KachelY + 1 51353 -1.35718950 -1.23725838 -77.761230 -70.889683
    Unten rechts KachelX + 1 18613 KachelY + 1 51353 -1.35709363 -1.23725838 -77.755737 -70.889683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23722699--1.23725838) × R
    3.13900000001865e-05 × 6371000     		dl = 199.985690001188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23722699--1.23725838) × R
    3.13900000001865e-05 × 6371000     		dr = 199.985690001188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35718950--1.35709363) × cos(-1.23722699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327417700792455 × 6371000     		do = 199.982727325547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35718950--1.35709363) × cos(-1.23725838) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327388040857341 × 6371000     		du = 199.96461139992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23722699)-sin(-1.23725838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327417700792455-0.327388040857341)×R²
    abs(-1.35709363--1.35718950)×2.96599351147231e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96599351147231e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96599351147231e-05×40589641000000     		ar = 39991.8722529613m²