Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18612 / 19187
↖ ↑ ↗
← S 29.410890°
E 24.477539°		 ← 1 064.19 m → S 29.410890°
E 24.488526°		 →
↑
1 064.15 m
↓
↑
1 064.15 m
↓
S 29.420460°
E 24.477539°		 ← 1 064.09 m →
1 132 408 m²		 S 29.420460°
E 24.488526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568008422851562 y=0.585556030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568008422851562 × 215)
    floor (0.568008422851562 × 32768)
    floor (18612.5)     		tx = 18612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585556030273438 × 215)
    floor (0.585556030273438 × 32768)
    floor (19187.5)     		ty = 19187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18612 / 19187 ti = "15/18612/19187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18612/19187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18612 ÷ 215
    18612 ÷ 32768     		x = 0.5679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19187 ÷ 215
    19187 ÷ 32768     		y = 0.585540771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5679931640625 × 2 - 1) × π
    0.135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42721365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585540771484375 × 2 - 1) × π
    -0.17108154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.53746851854007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42721365} λ = 0.42721365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.53746851854007))-π/2
    2×atan(0.584225337588787)-π/2
    2×0.528739726901032-π/2
    1.05747945380206-1.57079632675     		φ = -0.51331687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42721365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.477539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51331687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.410890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18612 KachelY 19187 0.42721365 -0.51331687 24.477539 -29.410890
    Oben rechts KachelX + 1 18613 KachelY 19187 0.42740540 -0.51331687 24.488526 -29.410890
    Unten links KachelX 18612 KachelY + 1 19188 0.42721365 -0.51348390 24.477539 -29.420460
    Unten rechts KachelX + 1 18613 KachelY + 1 19188 0.42740540 -0.51348390 24.488526 -29.420460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51331687--0.51348390) × R
    0.000167029999999957 × 6371000     		dl = 1064.14812999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51331687--0.51348390) × R
    0.000167029999999957 × 6371000     		dr = 1064.14812999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42721365-0.42740540) × cos(-0.51331687) × R
    0.000191749999999991 × 0.871120489349699 × 6371000     		do = 1064.19498126875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42721365-0.42740540) × cos(-0.51348390) × R
    0.000191749999999991 × 0.871038453887137 × 6371000     		du = 1064.09476352779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51331687)-sin(-0.51348390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871120489349699-0.871038453887137)×R²
    abs(0.42740540-0.42721365)×8.20354625619135e-05×R²
    0.000191749999999991×8.20354625619135e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.20354625619135e-05×40589641000000     		ar = 1132407.77864447m²