Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18612 / 13876
↖ ↑ ↗
← N 26.549223°
E 24.477539°		 ← 1 092.82 m → N 26.549223°
E 24.488526°		 →
↑
1 092.88 m
↓
↑
1 092.88 m
↓
N 26.539394°
E 24.477539°		 ← 1 092.91 m →
1 194 372 m²		 N 26.539394°
E 24.488526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568008422851562 y=0.423477172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568008422851562 × 215)
    floor (0.568008422851562 × 32768)
    floor (18612.5)     		tx = 18612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423477172851562 × 215)
    floor (0.423477172851562 × 32768)
    floor (13876.5)     		ty = 13876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18612 / 13876 ti = "15/18612/13876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18612/13876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18612 ÷ 215
    18612 ÷ 32768     		x = 0.5679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13876 ÷ 215
    13876 ÷ 32768     		y = 0.4234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5679931640625 × 2 - 1) × π
    0.135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42721365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4234619140625 × 2 - 1) × π
    0.153076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.480902976988403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42721365} λ = 0.42721365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480902976988403))-π/2
    2×atan(1.6175343392352)-π/2
    2×1.01708383730407-π/2
    2.03416767460814-1.57079632675     		φ = 0.46337135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42721365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.477539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46337135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.549223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18612 KachelY 13876 0.42721365 0.46337135 24.477539 26.549223
    Oben rechts KachelX + 1 18613 KachelY 13876 0.42740540 0.46337135 24.488526 26.549223
    Unten links KachelX 18612 KachelY + 1 13877 0.42721365 0.46319981 24.477539 26.539394
    Unten rechts KachelX + 1 18613 KachelY + 1 13877 0.42740540 0.46319981 24.488526 26.539394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46337135-0.46319981) × R
    0.000171540000000026 × 6371000     		dl = 1092.88134000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46337135-0.46319981) × R
    0.000171540000000026 × 6371000     		dr = 1092.88134000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42721365-0.42740540) × cos(0.46337135) × R
    0.000191749999999991 × 0.894550703648474 × 6371000     		do = 1092.81825069204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42721365-0.42740540) × cos(0.46319981) × R
    0.000191749999999991 × 0.894627363117402 × 6371000     		du = 1092.91190090817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46337135)-sin(0.46319981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894550703648474-0.894627363117402)×R²
    abs(0.42740540-0.42721365)×7.66594689277644e-05×R²
    0.000191749999999991×7.66594689277644e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.66594689277644e-05×40589641000000     		ar = 1194371.85140861m²