Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18612 / 13352
↖ ↑ ↗
← N 31.578536°
E 24.477539°		 ← 1 040.74 m → N 31.578536°
E 24.488526°		 →
↑
1 040.83 m
↓
↑
1 040.83 m
↓
N 31.569175°
E 24.477539°		 ← 1 040.85 m →
1 083 291 m²		 N 31.569175°
E 24.488526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568008422851562 y=0.407485961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568008422851562 × 215)
    floor (0.568008422851562 × 32768)
    floor (18612.5)     		tx = 18612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407485961914062 × 215)
    floor (0.407485961914062 × 32768)
    floor (13352.5)     		ty = 13352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18612 / 13352 ti = "15/18612/13352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18612/13352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18612 ÷ 215
    18612 ÷ 32768     		x = 0.5679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13352 ÷ 215
    13352 ÷ 32768     		y = 0.407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5679931640625 × 2 - 1) × π
    0.135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42721365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407470703125 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.581378718592041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42721365} λ = 0.42721365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581378718592041))-π/2
    2×atan(1.78850257342998)-π/2
    2×1.06097287146519-π/2
    2.12194574293037-1.57079632675     		φ = 0.55114942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42721365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.477539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55114942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.578536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18612 KachelY 13352 0.42721365 0.55114942 24.477539 31.578536
    Oben rechts KachelX + 1 18613 KachelY 13352 0.42740540 0.55114942 24.488526 31.578536
    Unten links KachelX 18612 KachelY + 1 13353 0.42721365 0.55098605 24.477539 31.569175
    Unten rechts KachelX + 1 18613 KachelY + 1 13353 0.42740540 0.55098605 24.488526 31.569175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55114942-0.55098605) × R
    0.000163369999999996 × 6371000     		dl = 1040.83026999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55114942-0.55098605) × R
    0.000163369999999996 × 6371000     		dr = 1040.83026999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42721365-0.42740540) × cos(0.55114942) × R
    0.000191749999999991 × 0.85192317187383 × 6371000     		do = 1040.74278474552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42721365-0.42740540) × cos(0.55098605) × R
    0.000191749999999991 × 0.852008711948476 × 6371000     		du = 1040.84728385815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55114942)-sin(0.55098605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85192317187383-0.852008711948476)×R²
    abs(0.42740540-0.42721365)×8.55400746455626e-05×R²
    0.000191749999999991×8.55400746455626e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.55400746455626e-05×40589641000000     		ar = 1083290.97897652m²