Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18611 / 51351
↖ ↑ ↗
← S 70.886086°
W 77.766724°		 ← 200.02 m → S 70.886086°
W 77.761230°		 →
↑
199.99 m
↓
↑
199.99 m
↓
S 70.887885°
W 77.766724°		 ← 200 m →
40 000 m²		 S 70.887885°
W 77.761230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283988952636719 y=0.783561706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283988952636719 × 216)
    floor (0.283988952636719 × 65536)
    floor (18611.5)     		tx = 18611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783561706542969 × 216)
    floor (0.783561706542969 × 65536)
    floor (51351.5)     		ty = 51351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18611 / 51351 ti = "16/18611/51351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18611/51351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18611 ÷ 216
    18611 ÷ 65536     		x = 0.283981323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51351 ÷ 216
    51351 ÷ 65536     		y = 0.783554077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283981323242188 × 2 - 1) × π
    -0.432037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.35728538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783554077148438 × 2 - 1) × π
    -0.567108154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.78162281127901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35728538} λ = -1.35728538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78162281127901))-π/2
    2×atan(0.168364701316735)-π/2
    2×0.166800362930812-π/2
    0.333600725861623-1.57079632675     		φ = -1.23719560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35728538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.766724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23719560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.886086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18611 KachelY 51351 -1.35728538 -1.23719560 -77.766724 -70.886086
    Oben rechts KachelX + 1 18612 KachelY 51351 -1.35718950 -1.23719560 -77.761230 -70.886086
    Unten links KachelX 18611 KachelY + 1 51352 -1.35728538 -1.23722699 -77.766724 -70.887885
    Unten rechts KachelX + 1 18612 KachelY + 1 51352 -1.35718950 -1.23722699 -77.761230 -70.887885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23719560--1.23722699) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dl = 199.985689999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23719560--1.23722699) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dr = 199.985689999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35728538--1.35718950) × cos(-1.23719560) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.327447360404955 × 6371000     		do = 200.021704725329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35728538--1.35718950) × cos(-1.23722699) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.327417700792455 × 6371000     		du = 200.003587107137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23719560)-sin(-1.23722699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327447360404955-0.327417700792455)×R²
    abs(-1.35718950--1.35728538)×2.96596124993442e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.96596124993442e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.96596124993442e-05×40589641000000     		ar = 39999.6670053237m²