Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18611 / 13501
↖ ↑ ↗
← N 30.173625°
E 24.466553°		 ← 1 056.11 m → N 30.173625°
E 24.477539°		 →
↑
1 056.18 m
↓
↑
1 056.18 m
↓
N 30.164126°
E 24.466553°		 ← 1 056.22 m →
1 115 506 m²		 N 30.164126°
E 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567977905273438 y=0.412033081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567977905273438 × 215)
    floor (0.567977905273438 × 32768)
    floor (18611.5)     		tx = 18611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412033081054688 × 215)
    floor (0.412033081054688 × 32768)
    floor (13501.5)     		ty = 13501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18611 / 13501 ti = "15/18611/13501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18611/13501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18611 ÷ 215
    18611 ÷ 32768     		x = 0.567962646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13501 ÷ 215
    13501 ÷ 32768     		y = 0.412017822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567962646484375 × 2 - 1) × π
    0.13592529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42702190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412017822265625 × 2 - 1) × π
    0.17596435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.552808326418488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42702190} λ = 0.42702190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552808326418488))-π/2
    2×atan(1.73812739933095)-π/2
    2×1.04871271122279-π/2
    2.09742542244559-1.57079632675     		φ = 0.52662910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42702190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.466553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52662910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.173625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18611 KachelY 13501 0.42702190 0.52662910 24.466553 30.173625
    Oben rechts KachelX + 1 18612 KachelY 13501 0.42721365 0.52662910 24.477539 30.173625
    Unten links KachelX 18611 KachelY + 1 13502 0.42702190 0.52646332 24.466553 30.164126
    Unten rechts KachelX + 1 18612 KachelY + 1 13502 0.42721365 0.52646332 24.477539 30.164126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52662910-0.52646332) × R
    0.000165780000000004 × 6371000     		dl = 1056.18438000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52662910-0.52646332) × R
    0.000165780000000004 × 6371000     		dr = 1056.18438000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42702190-0.42721365) × cos(0.52662910) × R
    0.000191749999999991 × 0.864506267607943 × 6371000     		do = 1056.11478838081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42702190-0.42721365) × cos(0.52646332) × R
    0.000191749999999991 × 0.864589580409435 × 6371000     		du = 1056.21656656914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52662910)-sin(0.52646332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864506267607943-0.864589580409435)×R²
    abs(0.42721365-0.42702190)×8.33128014917639e-05×R²
    0.000191749999999991×8.33128014917639e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.33128014917639e-05×40589641000000     		ar = 1115505.69379611m²