Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18611 / 13435
↖ ↑ ↗
← N 30.798474°
E 24.466553°		 ← 1 049.36 m → N 30.798474°
E 24.477539°		 →
↑
1 049.43 m
↓
↑
1 049.43 m
↓
N 30.789036°
E 24.466553°		 ← 1 049.46 m →
1 101 281 m²		 N 30.789036°
E 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567977905273438 y=0.410018920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567977905273438 × 215)
    floor (0.567977905273438 × 32768)
    floor (18611.5)     		tx = 18611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410018920898438 × 215)
    floor (0.410018920898438 × 32768)
    floor (13435.5)     		ty = 13435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18611 / 13435 ti = "15/18611/13435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18611/13435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18611 ÷ 215
    18611 ÷ 32768     		x = 0.567962646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13435 ÷ 215
    13435 ÷ 32768     		y = 0.410003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567962646484375 × 2 - 1) × π
    0.13592529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42702190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410003662109375 × 2 - 1) × π
    0.17999267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.565463667918182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42702190} λ = 0.42702190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.565463667918182))-π/2
    2×atan(1.76026377137164)-π/2
    2×1.05416555290247-π/2
    2.10833110580493-1.57079632675     		φ = 0.53753478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42702190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.466553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53753478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.798474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18611 KachelY 13435 0.42702190 0.53753478 24.466553 30.798474
    Oben rechts KachelX + 1 18612 KachelY 13435 0.42721365 0.53753478 24.477539 30.798474
    Unten links KachelX 18611 KachelY + 1 13436 0.42702190 0.53737006 24.466553 30.789036
    Unten rechts KachelX + 1 18612 KachelY + 1 13436 0.42721365 0.53737006 24.477539 30.789036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53753478-0.53737006) × R
    0.000164720000000007 × 6371000     		dl = 1049.43112000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53753478-0.53737006) × R
    0.000164720000000007 × 6371000     		dr = 1049.43112000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42702190-0.42721365) × cos(0.53753478) × R
    0.000191749999999991 × 0.858973532130076 × 6371000     		do = 1049.35578156118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42702190-0.42721365) × cos(0.53737006) × R
    0.000191749999999991 × 0.859057860409472 × 6371000     		du = 1049.45880029718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53753478)-sin(0.53737006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858973532130076-0.859057860409472)×R²
    abs(0.42721365-0.42702190)×8.43282793963063e-05×R²
    0.000191749999999991×8.43282793963063e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.43282793963063e-05×40589641000000     		ar = 1101280.6711458m²