Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18610 / 19402
↖ ↑ ↗
← S 31.447410°
E 24.455566°		 ← 1 042.20 m → S 31.447410°
E 24.466553°		 →
↑
1 042.17 m
↓
↑
1 042.17 m
↓
S 31.456783°
E 24.455566°		 ← 1 042.10 m →
1 086 098 m²		 S 31.456783°
E 24.466553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567947387695312 y=0.592117309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567947387695312 × 215)
    floor (0.567947387695312 × 32768)
    floor (18610.5)     		tx = 18610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592117309570312 × 215)
    floor (0.592117309570312 × 32768)
    floor (19402.5)     		ty = 19402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18610 / 19402 ti = "15/18610/19402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18610/19402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18610 ÷ 215
    18610 ÷ 32768     		x = 0.56793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19402 ÷ 215
    19402 ÷ 32768     		y = 0.59210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56793212890625 × 2 - 1) × π
    0.1358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42683015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59210205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1842041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.578694252213318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42683015} λ = 0.42683015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578694252213318))-π/2
    2×atan(0.560629930133125)-π/2
    2×0.510967737999014-π/2
    1.02193547599803-1.57079632675     		φ = -0.54886085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42683015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.455566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54886085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.447410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18610 KachelY 19402 0.42683015 -0.54886085 24.455566 -31.447410
    Oben rechts KachelX + 1 18611 KachelY 19402 0.42702190 -0.54886085 24.466553 -31.447410
    Unten links KachelX 18610 KachelY + 1 19403 0.42683015 -0.54902443 24.455566 -31.456783
    Unten rechts KachelX + 1 18611 KachelY + 1 19403 0.42702190 -0.54902443 24.466553 -31.456783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54886085--0.54902443) × R
    0.000163580000000052 × 6371000     		dl = 1042.16818000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54886085--0.54902443) × R
    0.000163580000000052 × 6371000     		dr = 1042.16818000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42683015-0.42702190) × cos(-0.54886085) × R
    0.000191749999999991 × 0.85311938794298 × 6371000     		do = 1042.20412924707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42683015-0.42702190) × cos(-0.54902443) × R
    0.000191749999999991 × 0.85303403426909 × 6371000     		du = 1042.09985784891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54886085)-sin(-0.54902443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85311938794298-0.85303403426909)×R²
    abs(0.42702190-0.42683015)×8.53536738899541e-05×R²
    0.000191749999999991×8.53536738899541e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.53536738899541e-05×40589641000000     		ar = 1086097.64882142m²