Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18610 / 19398
↖ ↑ ↗
← S 31.409912°
E 24.455566°		 ← 1 042.62 m → S 31.409912°
E 24.466553°		 →
↑
1 042.55 m
↓
↑
1 042.55 m
↓
S 31.419288°
E 24.455566°		 ← 1 042.52 m →
1 086 931 m²		 S 31.419288°
E 24.466553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567947387695312 y=0.591995239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567947387695312 × 215)
    floor (0.567947387695312 × 32768)
    floor (18610.5)     		tx = 18610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591995239257812 × 215)
    floor (0.591995239257812 × 32768)
    floor (19398.5)     		ty = 19398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18610 / 19398 ti = "15/18610/19398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18610/19398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18610 ÷ 215
    18610 ÷ 32768     		x = 0.56793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19398 ÷ 215
    19398 ÷ 32768     		y = 0.59197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56793212890625 × 2 - 1) × π
    0.1358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42683015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59197998046875 × 2 - 1) × π
    -0.1839599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.577927261819397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42683015} λ = 0.42683015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577927261819397))-π/2
    2×atan(0.561060092848329)-π/2
    2×0.51129497063007-π/2
    1.02258994126014-1.57079632675     		φ = -0.54820639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42683015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.455566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54820639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.409912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18610 KachelY 19398 0.42683015 -0.54820639 24.455566 -31.409912
    Oben rechts KachelX + 1 18611 KachelY 19398 0.42702190 -0.54820639 24.466553 -31.409912
    Unten links KachelX 18610 KachelY + 1 19399 0.42683015 -0.54837003 24.455566 -31.419288
    Unten rechts KachelX + 1 18611 KachelY + 1 19399 0.42702190 -0.54837003 24.466553 -31.419288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54820639--0.54837003) × R
    0.000163639999999909 × 6371000     		dl = 1042.55043999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54820639--0.54837003) × R
    0.000163639999999909 × 6371000     		dr = 1042.55043999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42683015-0.42702190) × cos(-0.54820639) × R
    0.000191749999999991 × 0.853460647296502 × 6371000     		do = 1042.62102506776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42683015-0.42702190) × cos(-0.54837003) × R
    0.000191749999999991 × 0.853375353690533 × 6371000     		du = 1042.51682705094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54820639)-sin(-0.54837003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853460647296502-0.853375353690533)×R²
    abs(0.42702190-0.42683015)×8.52936059683174e-05×R²
    0.000191749999999991×8.52936059683174e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.52936059683174e-05×40589641000000     		ar = 1086930.69501775m²