Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18609 / 13408
↖ ↑ ↗
← N 31.052934°
E 24.444580°		 ← 1 046.51 m → N 31.052934°
E 24.455566°		 →
↑
1 046.63 m
↓
↑
1 046.63 m
↓
N 31.043521°
E 24.444580°		 ← 1 046.62 m →
1 095 364 m²		 N 31.043521°
E 24.455566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567916870117188 y=0.409194946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567916870117188 × 215)
    floor (0.567916870117188 × 32768)
    floor (18609.5)     		tx = 18609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409194946289062 × 215)
    floor (0.409194946289062 × 32768)
    floor (13408.5)     		ty = 13408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18609 / 13408 ti = "15/18609/13408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18609/13408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18609 ÷ 215
    18609 ÷ 32768     		x = 0.567901611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13408 ÷ 215
    13408 ÷ 32768     		y = 0.4091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567901611328125 × 2 - 1) × π
    0.13580322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42663841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4091796875 × 2 - 1) × π
    0.181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.570640853077148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42663841} λ = 0.42663841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.570640853077148))-π/2
    2×atan(1.7694006139996)-π/2
    2×1.05638613361796-π/2
    2.11277226723592-1.57079632675     		φ = 0.54197594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42663841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.444580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54197594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.052934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18609 KachelY 13408 0.42663841 0.54197594 24.444580 31.052934
    Oben rechts KachelX + 1 18610 KachelY 13408 0.42683015 0.54197594 24.455566 31.052934
    Unten links KachelX 18609 KachelY + 1 13409 0.42663841 0.54181166 24.444580 31.043521
    Unten rechts KachelX + 1 18610 KachelY + 1 13409 0.42683015 0.54181166 24.455566 31.043521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54197594-0.54181166) × R
    0.000164280000000017 × 6371000     		dl = 1046.62788000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54197594-0.54181166) × R
    0.000164280000000017 × 6371000     		dr = 1046.62788000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42663841-0.42683015) × cos(0.54197594) × R
    0.000191739999999996 × 0.856691105761415 × 6371000     		do = 1046.51290013367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42663841-0.42683015) × cos(0.54181166) × R
    0.000191739999999996 × 0.856775834715127 × 6371000     		du = 1046.61640295106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54197594)-sin(0.54181166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856691105761415-0.856775834715127)×R²
    abs(0.42683015-0.42663841)×8.47289537120322e-05×R²
    0.000191739999999996×8.47289537120322e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.47289537120322e-05×40589641000000     		ar = 1095363.74498999m²