Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18608 / 19570
↖ ↑ ↗
← S 33.008664°
E 24.433594°		 ← 1 024.45 m → S 33.008664°
E 24.444580°		 →
↑
1 024.39 m
↓
↑
1 024.39 m
↓
S 33.017876°
E 24.433594°		 ← 1 024.35 m →
1 049 387 m²		 S 33.017876°
E 24.444580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567886352539062 y=0.597244262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567886352539062 × 215)
    floor (0.567886352539062 × 32768)
    floor (18608.5)     		tx = 18608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597244262695312 × 215)
    floor (0.597244262695312 × 32768)
    floor (19570.5)     		ty = 19570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18608 / 19570 ti = "15/18608/19570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18608/19570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18608 ÷ 215
    18608 ÷ 32768     		x = 0.56787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19570 ÷ 215
    19570 ÷ 32768     		y = 0.59722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56787109375 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59722900390625 × 2 - 1) × π
    -0.1944580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.610907848757996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42644666} λ = 0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610907848757996))-π/2
    2×atan(0.542857812507115)-π/2
    2×0.497343233573169-π/2
    0.994686467146338-1.57079632675     		φ = -0.57610986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57610986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.008664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18608 KachelY 19570 0.42644666 -0.57610986 24.433594 -33.008664
    Oben rechts KachelX + 1 18609 KachelY 19570 0.42663841 -0.57610986 24.444580 -33.008664
    Unten links KachelX 18608 KachelY + 1 19571 0.42644666 -0.57627065 24.433594 -33.017876
    Unten rechts KachelX + 1 18609 KachelY + 1 19571 0.42663841 -0.57627065 24.444580 -33.017876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57610986--0.57627065) × R
    0.000160790000000022 × 6371000     		dl = 1024.39309000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57610986--0.57627065) × R
    0.000160790000000022 × 6371000     		dr = 1024.39309000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42644666-0.42663841) × cos(-0.57610986) × R
    0.000191750000000046 × 0.838588205209817 × 6371000     		do = 1024.45226607161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42644666-0.42663841) × cos(-0.57627065) × R
    0.000191750000000046 × 0.838500601470349 × 6371000     		du = 1024.34524590503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57610986)-sin(-0.57627065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838588205209817-0.838500601470349)×R²
    abs(0.42663841-0.42644666)×8.7603739468145e-05×R²
    0.000191750000000046×8.7603739468145e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.7603739468145e-05×40589641000000     		ar = 1049387.00929973m²