Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18608 / 13404
↖ ↑ ↗
← N 31.090574°
E 24.433594°		 ← 1 046.15 m → N 31.090574°
E 24.444580°		 →
↑
1 046.18 m
↓
↑
1 046.18 m
↓
N 31.081165°
E 24.433594°		 ← 1 046.26 m →
1 094 521 m²		 N 31.081165°
E 24.444580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567886352539062 y=0.409072875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567886352539062 × 215)
    floor (0.567886352539062 × 32768)
    floor (18608.5)     		tx = 18608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409072875976562 × 215)
    floor (0.409072875976562 × 32768)
    floor (13404.5)     		ty = 13404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18608 / 13404 ti = "15/18608/13404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18608/13404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18608 ÷ 215
    18608 ÷ 32768     		x = 0.56787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13404 ÷ 215
    13404 ÷ 32768     		y = 0.4090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56787109375 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4090576171875 × 2 - 1) × π
    0.181884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.571407843471069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42644666} λ = 0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.571407843471069))-π/2
    2×atan(1.77075824785304)-π/2
    2×1.05671460553656-π/2
    2.11342921107312-1.57079632675     		φ = 0.54263288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54263288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.090574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18608 KachelY 13404 0.42644666 0.54263288 24.433594 31.090574
    Oben rechts KachelX + 1 18609 KachelY 13404 0.42663841 0.54263288 24.444580 31.090574
    Unten links KachelX 18608 KachelY + 1 13405 0.42644666 0.54246867 24.433594 31.081165
    Unten rechts KachelX + 1 18609 KachelY + 1 13405 0.42663841 0.54246867 24.444580 31.081165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54263288-0.54246867) × R
    0.000164209999999998 × 6371000     		dl = 1046.18190999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54263288-0.54246867) × R
    0.000164209999999998 × 6371000     		dr = 1046.18190999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42644666-0.42663841) × cos(0.54263288) × R
    0.000191750000000046 × 0.856352051717002 × 6371000     		do = 1046.15327819577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42644666-0.42663841) × cos(0.54246867) × R
    0.000191750000000046 × 0.856436836975277 × 6371000     		du = 1046.2568551951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54263288)-sin(0.54246867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856352051717002-0.856436836975277)×R²
    abs(0.42663841-0.42644666)×8.47852582748221e-05×R²
    0.000191750000000046×8.47852582748221e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.47852582748221e-05×40589641000000     		ar = 1094520.81738691m²