Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18607 / 14072
↖ ↑ ↗
← N 24.607069°
E 24.422607°		 ← 1 110.70 m → N 24.607069°
E 24.433594°		 →
↑
1 110.78 m
↓
↑
1 110.78 m
↓
N 24.597080°
E 24.422607°		 ← 1 110.78 m →
1 233 792 m²		 N 24.597080°
E 24.433594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567855834960938 y=0.429458618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567855834960938 × 215)
    floor (0.567855834960938 × 32768)
    floor (18607.5)     		tx = 18607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429458618164062 × 215)
    floor (0.429458618164062 × 32768)
    floor (14072.5)     		ty = 14072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18607 / 14072 ti = "15/18607/14072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18607/14072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18607 ÷ 215
    18607 ÷ 32768     		x = 0.567840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14072 ÷ 215
    14072 ÷ 32768     		y = 0.429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567840576171875 × 2 - 1) × π
    0.13568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42625491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429443359375 × 2 - 1) × π
    0.14111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.443320447686279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42625491} λ = 0.42625491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443320447686279))-π/2
    2×atan(1.55787147067226)-π/2
    2×1.00013535125115-π/2
    2.00027070250229-1.57079632675     		φ = 0.42947438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42625491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.422607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42947438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.607069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18607 KachelY 14072 0.42625491 0.42947438 24.422607 24.607069
    Oben rechts KachelX + 1 18608 KachelY 14072 0.42644666 0.42947438 24.433594 24.607069
    Unten links KachelX 18607 KachelY + 1 14073 0.42625491 0.42930003 24.422607 24.597080
    Unten rechts KachelX + 1 18608 KachelY + 1 14073 0.42644666 0.42930003 24.433594 24.597080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42947438-0.42930003) × R
    0.00017434999999999 × 6371000     		dl = 1110.78384999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42947438-0.42930003) × R
    0.00017434999999999 × 6371000     		dr = 1110.78384999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42625491-0.42644666) × cos(0.42947438) × R
    0.000191749999999991 × 0.909184739733086 × 6371000     		do = 1110.69576355892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42625491-0.42644666) × cos(0.42930003) × R
    0.000191749999999991 × 0.909257324029122 × 6371000     		du = 1110.78443538389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42947438)-sin(0.42930003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909184739733086-0.909257324029122)×R²
    abs(0.42644666-0.42625491)×7.25842960357381e-05×R²
    0.000191749999999991×7.25842960357381e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.25842960357381e-05×40589641000000     		ar = 1233792.16716564m²