Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18606 / 13509
↖ ↑ ↗
← N 30.097613°
E 24.411621°		 ← 1 056.93 m → N 30.097613°
E 24.422607°		 →
↑
1 056.95 m
↓
↑
1 056.95 m
↓
N 30.088108°
E 24.411621°		 ← 1 057.03 m →
1 117 173 m²		 N 30.088108°
E 24.422607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567825317382812 y=0.412277221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567825317382812 × 215)
    floor (0.567825317382812 × 32768)
    floor (18606.5)     		tx = 18606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412277221679688 × 215)
    floor (0.412277221679688 × 32768)
    floor (13509.5)     		ty = 13509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18606 / 13509 ti = "15/18606/13509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18606/13509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18606 ÷ 215
    18606 ÷ 32768     		x = 0.56781005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13509 ÷ 215
    13509 ÷ 32768     		y = 0.412261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56781005859375 × 2 - 1) × π
    0.1356201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42606316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412261962890625 × 2 - 1) × π
    0.17547607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.551274345630646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42606316} λ = 0.42606316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551274345630646))-π/2
    2×atan(1.73546318923953)-π/2
    2×1.04804938773033-π/2
    2.09609877546066-1.57079632675     		φ = 0.52530245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42606316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.411621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52530245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.097613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18606 KachelY 13509 0.42606316 0.52530245 24.411621 30.097613
    Oben rechts KachelX + 1 18607 KachelY 13509 0.42625491 0.52530245 24.422607 30.097613
    Unten links KachelX 18606 KachelY + 1 13510 0.42606316 0.52513655 24.411621 30.088108
    Unten rechts KachelX + 1 18607 KachelY + 1 13510 0.42625491 0.52513655 24.422607 30.088108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52530245-0.52513655) × R
    0.000165899999999941 × 6371000     		dl = 1056.94889999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52530245-0.52513655) × R
    0.000165899999999941 × 6371000     		dr = 1056.94889999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42606316-0.42625491) × cos(0.52530245) × R
    0.000191749999999991 × 0.865172310173802 × 6371000     		do = 1056.92845212144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42606316-0.42625491) × cos(0.52513655) × R
    0.000191749999999991 × 0.865255492919993 × 6371000     		du = 1057.03007142911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52530245)-sin(0.52513655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865172310173802-0.865255492919993)×R²
    abs(0.42625491-0.42606316)×8.31827461911239e-05×R²
    0.000191749999999991×8.31827461911239e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.31827461911239e-05×40589641000000     		ar = 1117173.07061816m²