Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18605 / 19379
↖ ↑ ↗
← S 31.231592°
E 24.400635°		 ← 1 044.54 m → S 31.231592°
E 24.411621°		 →
↑
1 044.53 m
↓
↑
1 044.53 m
↓
S 31.240986°
E 24.400635°		 ← 1 044.44 m →
1 090 997 m²		 S 31.240986°
E 24.411621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567794799804688 y=0.591415405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567794799804688 × 215)
    floor (0.567794799804688 × 32768)
    floor (18605.5)     		tx = 18605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591415405273438 × 215)
    floor (0.591415405273438 × 32768)
    floor (19379.5)     		ty = 19379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18605 / 19379 ti = "15/18605/19379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18605/19379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18605 ÷ 215
    18605 ÷ 32768     		x = 0.567779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19379 ÷ 215
    19379 ÷ 32768     		y = 0.591400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567779541015625 × 2 - 1) × π
    0.13555908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42587142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.18280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.574284057448273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42587142} λ = 0.42587142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574284057448273))-π/2
    2×atan(0.56310787741489)-π/2
    2×0.512851110746604-π/2
    1.02570222149321-1.57079632675     		φ = -0.54509411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42587142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.400635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54509411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.231592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18605 KachelY 19379 0.42587142 -0.54509411 24.400635 -31.231592
    Oben rechts KachelX + 1 18606 KachelY 19379 0.42606316 -0.54509411 24.411621 -31.231592
    Unten links KachelX 18605 KachelY + 1 19380 0.42587142 -0.54525806 24.400635 -31.240986
    Unten rechts KachelX + 1 18606 KachelY + 1 19380 0.42606316 -0.54525806 24.411621 -31.240986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54509411--0.54525806) × R
    0.000163950000000024 × 6371000     		dl = 1044.52545000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54509411--0.54525806) × R
    0.000163950000000024 × 6371000     		dr = 1044.52545000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42587142-0.42606316) × cos(-0.54509411) × R
    0.000191739999999996 × 0.855078498667306 × 6371000     		do = 1044.54297875188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42587142-0.42606316) × cos(-0.54525806) × R
    0.000191739999999996 × 0.854993479335995 × 6371000     		du = 1044.43912121632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54509411)-sin(-0.54525806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855078498667306-0.854993479335995)×R²
    abs(0.42606316-0.42587142)×8.50193313111092e-05×R²
    0.000191739999999996×8.50193313111092e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.50193313111092e-05×40589641000000     		ar = 1090997.48644959m²