Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18605 / 15324
↖ ↑ ↗
← N 11.566144°
E 24.400635°		 ← 1 196.77 m → N 11.566144°
E 24.411621°		 →
↑
1 196.86 m
↓
↑
1 196.86 m
↓
N 11.555380°
E 24.400635°		 ← 1 196.82 m →
1 432 389 m²		 N 11.555380°
E 24.411621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567794799804688 y=0.467666625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567794799804688 × 215)
    floor (0.567794799804688 × 32768)
    floor (18605.5)     		tx = 18605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467666625976562 × 215)
    floor (0.467666625976562 × 32768)
    floor (15324.5)     		ty = 15324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18605 / 15324 ti = "15/18605/15324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18605/15324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18605 ÷ 215
    18605 ÷ 32768     		x = 0.567779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15324 ÷ 215
    15324 ÷ 32768     		y = 0.4676513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567779541015625 × 2 - 1) × π
    0.13555908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42587142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4676513671875 × 2 - 1) × π
    0.064697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.203252454389038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42587142} λ = 0.42587142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203252454389038))-π/2
    2×atan(1.22538178221119)-π/2
    2×0.886331808647845-π/2
    1.77266361729569-1.57079632675     		φ = 0.20186729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42587142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.400635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20186729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.566144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18605 KachelY 15324 0.42587142 0.20186729 24.400635 11.566144
    Oben rechts KachelX + 1 18606 KachelY 15324 0.42606316 0.20186729 24.411621 11.566144
    Unten links KachelX 18605 KachelY + 1 15325 0.42587142 0.20167943 24.400635 11.555380
    Unten rechts KachelX + 1 18606 KachelY + 1 15325 0.42606316 0.20167943 24.411621 11.555380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20186729-0.20167943) × R
    0.000187860000000012 × 6371000     		dl = 1196.85606000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20186729-0.20167943) × R
    0.000187860000000012 × 6371000     		dr = 1196.85606000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42587142-0.42606316) × cos(0.20186729) × R
    0.000191739999999996 × 0.979693896168297 × 6371000     		do = 1196.77010024647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42587142-0.42606316) × cos(0.20167943) × R
    0.000191739999999996 × 0.97973154463259 × 6371000     		du = 1196.81609068956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20186729)-sin(0.20167943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979693896168297-0.97973154463259)×R²
    abs(0.42606316-0.42587142)×3.76484642927721e-05×R²
    0.000191739999999996×3.76484642927721e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.76484642927721e-05×40589641000000     		ar = 1432389.07308976m²