Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18605 / 13396
↖ ↑ ↗
← N 31.165810°
E 24.400635°		 ← 1 045.27 m → N 31.165810°
E 24.411621°		 →
↑
1 045.35 m
↓
↑
1 045.35 m
↓
N 31.156408°
E 24.400635°		 ← 1 045.37 m →
1 092 731 m²		 N 31.156408°
E 24.411621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567794799804688 y=0.408828735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567794799804688 × 215)
    floor (0.567794799804688 × 32768)
    floor (18605.5)     		tx = 18605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408828735351562 × 215)
    floor (0.408828735351562 × 32768)
    floor (13396.5)     		ty = 13396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18605 / 13396 ti = "15/18605/13396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18605/13396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18605 ÷ 215
    18605 ÷ 32768     		x = 0.567779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13396 ÷ 215
    13396 ÷ 32768     		y = 0.4088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567779541015625 × 2 - 1) × π
    0.13555908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42587142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4088134765625 × 2 - 1) × π
    0.182373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.572941824258911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42587142} λ = 0.42587142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.572941824258911))-π/2
    2×atan(1.77347664143387)-π/2
    2×1.05737115906935-π/2
    2.11474231813869-1.57079632675     		φ = 0.54394599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42587142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.400635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54394599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.165810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18605 KachelY 13396 0.42587142 0.54394599 24.400635 31.165810
    Oben rechts KachelX + 1 18606 KachelY 13396 0.42606316 0.54394599 24.411621 31.165810
    Unten links KachelX 18605 KachelY + 1 13397 0.42587142 0.54378191 24.400635 31.156408
    Unten rechts KachelX + 1 18606 KachelY + 1 13397 0.42606316 0.54378191 24.411621 31.156408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54394599-0.54378191) × R
    0.000164080000000011 × 6371000     		dl = 1045.35368000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54394599-0.54378191) × R
    0.000164080000000011 × 6371000     		dr = 1045.35368000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42587142-0.42606316) × cos(0.54394599) × R
    0.000191739999999996 × 0.855673233534667 × 6371000     		do = 1045.26949231863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42587142-0.42606316) × cos(0.54378191) × R
    0.000191739999999996 × 0.855758136121641 × 6371000     		du = 1045.37320724216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54394599)-sin(0.54378191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855673233534667-0.855758136121641)×R²
    abs(0.42606316-0.42587142)×8.49025869738007e-05×R²
    0.000191739999999996×8.49025869738007e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.49025869738007e-05×40589641000000     		ar = 1092730.52222716m²