Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18604 / 13349
↖ ↑ ↗
← N 31.606610°
E 24.389649°		 ← 1 040.43 m → N 31.606610°
E 24.400635°		 →
↑
1 040.51 m
↓
↑
1 040.51 m
↓
N 31.597252°
E 24.389649°		 ← 1 040.53 m →
1 082 633 m²		 N 31.597252°
E 24.400635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567764282226562 y=0.407394409179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567764282226562 × 215)
    floor (0.567764282226562 × 32768)
    floor (18604.5)     		tx = 18604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407394409179688 × 215)
    floor (0.407394409179688 × 32768)
    floor (13349.5)     		ty = 13349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18604 / 13349 ti = "15/18604/13349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18604/13349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18604 ÷ 215
    18604 ÷ 32768     		x = 0.5677490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13349 ÷ 215
    13349 ÷ 32768     		y = 0.407379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5677490234375 × 2 - 1) × π
    0.135498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42567967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407379150390625 × 2 - 1) × π
    0.18524169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.581953961387482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42567967} λ = 0.42567967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581953961387482))-π/2
    2×atan(1.78953169261829)-π/2
    2×1.06121786588704-π/2
    2.12243573177408-1.57079632675     		φ = 0.55163941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42567967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.389649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55163941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.606610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18604 KachelY 13349 0.42567967 0.55163941 24.389649 31.606610
    Oben rechts KachelX + 1 18605 KachelY 13349 0.42587142 0.55163941 24.400635 31.606610
    Unten links KachelX 18604 KachelY + 1 13350 0.42567967 0.55147609 24.389649 31.597252
    Unten rechts KachelX + 1 18605 KachelY + 1 13350 0.42587142 0.55147609 24.400635 31.597252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55163941-0.55147609) × R
    0.000163320000000078 × 6371000     		dl = 1040.5117200005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55163941-0.55147609) × R
    0.000163320000000078 × 6371000     		dr = 1040.5117200005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42567967-0.42587142) × cos(0.55163941) × R
    0.000191749999999991 × 0.851666478123401 × 6371000     		do = 1040.42919758476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42567967-0.42587142) × cos(0.55147609) × R
    0.000191749999999991 × 0.851752060190113 × 6371000     		du = 1040.53374799655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55163941)-sin(0.55147609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851666478123401-0.851752060190113)×R²
    abs(0.42587142-0.42567967)×8.55820667116092e-05×R²
    0.000191749999999991×8.55820667116092e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.55820667116092e-05×40589641000000     		ar = 1082633.16928788m²