Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18603 / 13420
↖ ↑ ↗
← N 30.939924°
E 24.378662°		 ← 1 047.81 m → N 30.939924°
E 24.389649°		 →
↑
1 047.84 m
↓
↑
1 047.84 m
↓
N 30.930501°
E 24.378662°		 ← 1 047.91 m →
1 097 988 m²		 N 30.930501°
E 24.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567733764648438 y=0.409561157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567733764648438 × 215)
    floor (0.567733764648438 × 32768)
    floor (18603.5)     		tx = 18603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409561157226562 × 215)
    floor (0.409561157226562 × 32768)
    floor (13420.5)     		ty = 13420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18603 / 13420 ti = "15/18603/13420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18603/13420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18603 ÷ 215
    18603 ÷ 32768     		x = 0.567718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13420 ÷ 215
    13420 ÷ 32768     		y = 0.4095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567718505859375 × 2 - 1) × π
    0.13543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42548792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4095458984375 × 2 - 1) × π
    0.180908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.568339881895386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42548792} λ = 0.42548792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.568339881895386))-π/2
    2×atan(1.76533395460506)-π/2
    2×1.05539993833761-π/2
    2.11079987667523-1.57079632675     		φ = 0.54000355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42548792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.378662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54000355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.939924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18603 KachelY 13420 0.42548792 0.54000355 24.378662 30.939924
    Oben rechts KachelX + 1 18604 KachelY 13420 0.42567967 0.54000355 24.389649 30.939924
    Unten links KachelX 18603 KachelY + 1 13421 0.42548792 0.53983908 24.378662 30.930501
    Unten rechts KachelX + 1 18604 KachelY + 1 13421 0.42567967 0.53983908 24.389649 30.930501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54000355-0.53983908) × R
    0.000164469999999972 × 6371000     		dl = 1047.83836999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54000355-0.53983908) × R
    0.000164469999999972 × 6371000     		dr = 1047.83836999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42548792-0.42567967) × cos(0.54000355) × R
    0.000191749999999991 × 0.857706856175649 × 6371000     		do = 1047.80836049823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42548792-0.42567967) × cos(0.53983908) × R
    0.000191749999999991 × 0.857791405021955 × 6371000     		du = 1047.91164868742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54000355)-sin(0.53983908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857706856175649-0.857791405021955)×R²
    abs(0.42567967-0.42548792)×8.45488463059318e-05×R²
    0.000191749999999991×8.45488463059318e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.45488463059318e-05×40589641000000     		ar = 1097987.92167544m²