Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18602 / 19503
↖ ↑ ↗
← S 32.389239°
E 24.367676°		 ← 1 031.59 m → S 32.389239°
E 24.378662°		 →
↑
1 031.53 m
↓
↑
1 031.53 m
↓
S 32.398516°
E 24.367676°		 ← 1 031.48 m →
1 064 057 m²		 S 32.398516°
E 24.378662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567703247070312 y=0.595199584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567703247070312 × 215)
    floor (0.567703247070312 × 32768)
    floor (18602.5)     		tx = 18602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595199584960938 × 215)
    floor (0.595199584960938 × 32768)
    floor (19503.5)     		ty = 19503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18602 / 19503 ti = "15/18602/19503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18602/19503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18602 ÷ 215
    18602 ÷ 32768     		x = 0.56768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19503 ÷ 215
    19503 ÷ 32768     		y = 0.595184326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56768798828125 × 2 - 1) × π
    0.1353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42529617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.19036865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.598060759659821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42529617} λ = 0.42529617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.598060759659821))-π/2
    2×atan(0.549876946370376)-π/2
    2×0.502748731063287-π/2
    1.00549746212657-1.57079632675     		φ = -0.56529886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42529617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.367676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56529886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.389239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18602 KachelY 19503 0.42529617 -0.56529886 24.367676 -32.389239
    Oben rechts KachelX + 1 18603 KachelY 19503 0.42548792 -0.56529886 24.378662 -32.389239
    Unten links KachelX 18602 KachelY + 1 19504 0.42529617 -0.56546077 24.367676 -32.398516
    Unten rechts KachelX + 1 18603 KachelY + 1 19504 0.42548792 -0.56546077 24.378662 -32.398516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56529886--0.56546077) × R
    0.000161909999999987 × 6371000     		dl = 1031.52860999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56529886--0.56546077) × R
    0.000161909999999987 × 6371000     		dr = 1031.52860999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42529617-0.42548792) × cos(-0.56529886) × R
    0.000191750000000046 × 0.844428548336776 × 6371000     		do = 1031.58705846898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42529617-0.42548792) × cos(-0.56546077) × R
    0.000191750000000046 × 0.844341807229663 × 6371000     		du = 1031.48109212794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56529886)-sin(-0.56546077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844428548336776-0.844341807229663)×R²
    abs(0.42548792-0.42529617)×8.67411071125979e-05×R²
    0.000191750000000046×8.67411071125979e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.67411071125979e-05×40589641000000     		ar = 1064056.91318461m²