Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18602 / 13419
↖ ↑ ↗
← N 30.949347°
E 24.367676°		 ← 1 047.71 m → N 30.949347°
E 24.378662°		 →
↑
1 047.77 m
↓
↑
1 047.77 m
↓
N 30.939924°
E 24.367676°		 ← 1 047.81 m →
1 097 813 m²		 N 30.939924°
E 24.378662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567703247070312 y=0.409530639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567703247070312 × 215)
    floor (0.567703247070312 × 32768)
    floor (18602.5)     		tx = 18602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409530639648438 × 215)
    floor (0.409530639648438 × 32768)
    floor (13419.5)     		ty = 13419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18602 / 13419 ti = "15/18602/13419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18602/13419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18602 ÷ 215
    18602 ÷ 32768     		x = 0.56768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13419 ÷ 215
    13419 ÷ 32768     		y = 0.409515380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56768798828125 × 2 - 1) × π
    0.1353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42529617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409515380859375 × 2 - 1) × π
    0.18096923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.568531629493866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42529617} λ = 0.42529617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.568531629493866))-π/2
    2×atan(1.76567248560659)-π/2
    2×1.05548216589892-π/2
    2.11096433179784-1.57079632675     		φ = 0.54016801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42529617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.367676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54016801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.949347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18602 KachelY 13419 0.42529617 0.54016801 24.367676 30.949347
    Oben rechts KachelX + 1 18603 KachelY 13419 0.42548792 0.54016801 24.378662 30.949347
    Unten links KachelX 18602 KachelY + 1 13420 0.42529617 0.54000355 24.367676 30.939924
    Unten rechts KachelX + 1 18603 KachelY + 1 13420 0.42548792 0.54000355 24.378662 30.939924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54016801-0.54000355) × R
    0.000164460000000033 × 6371000     		dl = 1047.77466000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54016801-0.54000355) × R
    0.000164460000000033 × 6371000     		dr = 1047.77466000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42529617-0.42548792) × cos(0.54016801) × R
    0.000191750000000046 × 0.857622289270847 × 6371000     		do = 1047.70505024837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42529617-0.42548792) × cos(0.54000355) × R
    0.000191750000000046 × 0.857706856175649 × 6371000     		du = 1047.80836049853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54016801)-sin(0.54000355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857622289270847-0.857706856175649)×R²
    abs(0.42548792-0.42529617)×8.45669048021858e-05×R²
    0.000191750000000046×8.45669048021858e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.45669048021858e-05×40589641000000     		ar = 1097812.92820997m²