Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18602 / 13394
↖ ↑ ↗
← N 31.184609°
E 24.367676°		 ← 1 045.12 m → N 31.184609°
E 24.378662°		 →
↑
1 045.16 m
↓
↑
1 045.16 m
↓
N 31.175210°
E 24.367676°		 ← 1 045.22 m →
1 092 371 m²		 N 31.175210°
E 24.378662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567703247070312 y=0.408767700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567703247070312 × 215)
    floor (0.567703247070312 × 32768)
    floor (18602.5)     		tx = 18602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408767700195312 × 215)
    floor (0.408767700195312 × 32768)
    floor (13394.5)     		ty = 13394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18602 / 13394 ti = "15/18602/13394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18602/13394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18602 ÷ 215
    18602 ÷ 32768     		x = 0.56768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13394 ÷ 215
    13394 ÷ 32768     		y = 0.40875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56768798828125 × 2 - 1) × π
    0.1353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42529617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40875244140625 × 2 - 1) × π
    0.1824951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.573325319455872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42529617} λ = 0.42529617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.573325319455872))-π/2
    2×atan(1.77415689163579)-π/2
    2×1.05753521607355-π/2
    2.1150704321471-1.57079632675     		φ = 0.54427411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42529617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.367676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54427411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.184609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18602 KachelY 13394 0.42529617 0.54427411 24.367676 31.184609
    Oben rechts KachelX + 1 18603 KachelY 13394 0.42548792 0.54427411 24.378662 31.184609
    Unten links KachelX 18602 KachelY + 1 13395 0.42529617 0.54411006 24.367676 31.175210
    Unten rechts KachelX + 1 18603 KachelY + 1 13395 0.42548792 0.54411006 24.378662 31.175210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54427411-0.54411006) × R
    0.000164050000000082 × 6371000     		dl = 1045.16255000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54427411-0.54411006) × R
    0.000164050000000082 × 6371000     		dr = 1045.16255000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42529617-0.42548792) × cos(0.54427411) × R
    0.000191750000000046 × 0.855503379964959 × 6371000     		do = 1045.11650747311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42529617-0.42548792) × cos(0.54411006) × R
    0.000191750000000046 × 0.855588313087616 × 6371000     		du = 1045.22026510937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54427411)-sin(0.54411006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855503379964959-0.855588313087616)×R²
    abs(0.42548792-0.42529617)×8.49331226577821e-05×R²
    0.000191750000000046×8.49331226577821e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.49331226577821e-05×40589641000000     		ar = 1092370.8582461m²