Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18601 / 19303
↖ ↑ ↗
← S 30.514949°
E 24.356690°		 ← 1 052.38 m → S 30.514949°
E 24.367676°		 →
↑
1 052.36 m
↓
↑
1 052.36 m
↓
S 30.524413°
E 24.356690°		 ← 1 052.28 m →
1 107 434 m²		 S 30.524413°
E 24.367676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567672729492188 y=0.589096069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567672729492188 × 215)
    floor (0.567672729492188 × 32768)
    floor (18601.5)     		tx = 18601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589096069335938 × 215)
    floor (0.589096069335938 × 32768)
    floor (19303.5)     		ty = 19303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18601 / 19303 ti = "15/18601/19303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18601/19303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18601 ÷ 215
    18601 ÷ 32768     		x = 0.567657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19303 ÷ 215
    19303 ÷ 32768     		y = 0.589080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567657470703125 × 2 - 1) × π
    0.13531494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42510443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.17816162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.559711239963776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42510443} λ = 0.42510443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559711239963776))-π/2
    2×atan(0.571374030015455)-π/2
    2×0.519104997446014-π/2
    1.03820999489203-1.57079632675     		φ = -0.53258633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42510443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.356690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53258633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.514949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18601 KachelY 19303 0.42510443 -0.53258633 24.356690 -30.514949
    Oben rechts KachelX + 1 18602 KachelY 19303 0.42529617 -0.53258633 24.367676 -30.514949
    Unten links KachelX 18601 KachelY + 1 19304 0.42510443 -0.53275151 24.356690 -30.524413
    Unten rechts KachelX + 1 18602 KachelY + 1 19304 0.42529617 -0.53275151 24.367676 -30.524413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53258633--0.53275151) × R
    0.000165179999999987 × 6371000     		dl = 1052.36177999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53258633--0.53275151) × R
    0.000165179999999987 × 6371000     		dr = 1052.36177999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42510443-0.42529617) × cos(-0.53258633) × R
    0.000191739999999996 × 0.861496710225026 × 6371000     		do = 1052.38330900134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42510443-0.42529617) × cos(-0.53275151) × R
    0.000191739999999996 × 0.861412826155277 × 6371000     		du = 1052.28083827354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53258633)-sin(-0.53275151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861496710225026-0.861412826155277)×R²
    abs(0.42529617-0.42510443)×8.38840697484633e-05×R²
    0.000191739999999996×8.38840697484633e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.38840697484633e-05×40589641000000     		ar = 1107434.05668191m²