Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18601 / 13424
↖ ↑ ↗
← N 30.902225°
E 24.356690°		 ← 1 048.17 m → N 30.902225°
E 24.367676°		 →
↑
1 048.28 m
↓
↑
1 048.28 m
↓
N 30.892797°
E 24.356690°		 ← 1 048.27 m →
1 098 831 m²		 N 30.892797°
E 24.367676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567672729492188 y=0.409683227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567672729492188 × 215)
    floor (0.567672729492188 × 32768)
    floor (18601.5)     		tx = 18601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409683227539062 × 215)
    floor (0.409683227539062 × 32768)
    floor (13424.5)     		ty = 13424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18601 / 13424 ti = "15/18601/13424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18601/13424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18601 ÷ 215
    18601 ÷ 32768     		x = 0.567657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13424 ÷ 215
    13424 ÷ 32768     		y = 0.40966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567657470703125 × 2 - 1) × π
    0.13531494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42510443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40966796875 × 2 - 1) × π
    0.1806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.567572891501465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42510443} λ = 0.42510443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.567572891501465))-π/2
    2×atan(1.76398047953736)-π/2
    2×1.05507094703868-π/2
    2.11014189407735-1.57079632675     		φ = 0.53934557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42510443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.356690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53934557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.902225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18601 KachelY 13424 0.42510443 0.53934557 24.356690 30.902225
    Oben rechts KachelX + 1 18602 KachelY 13424 0.42529617 0.53934557 24.367676 30.902225
    Unten links KachelX 18601 KachelY + 1 13425 0.42510443 0.53918103 24.356690 30.892797
    Unten rechts KachelX + 1 18602 KachelY + 1 13425 0.42529617 0.53918103 24.367676 30.892797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53934557-0.53918103) × R
    0.000164540000000102 × 6371000     		dl = 1048.28434000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53934557-0.53918103) × R
    0.000164540000000102 × 6371000     		dr = 1048.28434000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42510443-0.42529617) × cos(0.53934557) × R
    0.000191739999999996 × 0.858044963687684 × 6371000     		do = 1048.16673986104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42510443-0.42529617) × cos(0.53918103) × R
    0.000191739999999996 × 0.858129455632163 × 6371000     		du = 1048.26995315374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53934557)-sin(0.53918103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858044963687684-0.858129455632163)×R²
    abs(0.42529617-0.42510443)×8.44919444789038e-05×R²
    0.000191739999999996×8.44919444789038e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.44919444789038e-05×40589641000000     		ar = 1098830.8800239m²