Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18600 / 13405
↖ ↑ ↗
← N 31.081165°
E 24.345703°		 ← 1 046.26 m → N 31.081165°
E 24.356690°		 →
↑
1 046.31 m
↓
↑
1 046.31 m
↓
N 31.071756°
E 24.345703°		 ← 1 046.36 m →
1 094 762 m²		 N 31.071756°
E 24.356690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567642211914062 y=0.409103393554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567642211914062 × 215)
    floor (0.567642211914062 × 32768)
    floor (18600.5)     		tx = 18600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409103393554688 × 215)
    floor (0.409103393554688 × 32768)
    floor (13405.5)     		ty = 13405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18600 / 13405 ti = "15/18600/13405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18600/13405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18600 ÷ 215
    18600 ÷ 32768     		x = 0.567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13405 ÷ 215
    13405 ÷ 32768     		y = 0.409088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409088134765625 × 2 - 1) × π
    0.18182373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.571216095872589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42491268} λ = 0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.571216095872589))-π/2
    2×atan(1.77041874176231)-π/2
    2×1.05663249974759-π/2
    2.11326499949517-1.57079632675     		φ = 0.54246867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54246867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.081165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18600 KachelY 13405 0.42491268 0.54246867 24.345703 31.081165
    Oben rechts KachelX + 1 18601 KachelY 13405 0.42510443 0.54246867 24.356690 31.081165
    Unten links KachelX 18600 KachelY + 1 13406 0.42491268 0.54230444 24.345703 31.071756
    Unten rechts KachelX + 1 18601 KachelY + 1 13406 0.42510443 0.54230444 24.356690 31.071756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54246867-0.54230444) × R
    0.000164229999999987 × 6371000     		dl = 1046.30932999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54246867-0.54230444) × R
    0.000164229999999987 × 6371000     		dr = 1046.30932999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42491268-0.42510443) × cos(0.54246867) × R
    0.000191749999999991 × 0.856436836975277 × 6371000     		do = 1046.2568551948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42491268-0.42510443) × cos(0.54230444) × R
    0.000191749999999991 × 0.856521609462021 × 6371000     		du = 1046.36041659192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54246867)-sin(0.54230444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856436836975277-0.856521609462021)×R²
    abs(0.42510443-0.42491268)×8.47724867438782e-05×R²
    0.000191749999999991×8.47724867438782e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.47724867438782e-05×40589641000000     		ar = 1094762.49025544m²