Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18599 / 13391
↖ ↑ ↗
← N 31.212801°
E 24.334717°		 ← 1 044.81 m → N 31.212801°
E 24.345703°		 →
↑
1 044.84 m
↓
↑
1 044.84 m
↓
N 31.203405°
E 24.334717°		 ← 1 044.91 m →
1 091 713 m²		 N 31.203405°
E 24.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567611694335938 y=0.408676147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567611694335938 × 215)
    floor (0.567611694335938 × 32768)
    floor (18599.5)     		tx = 18599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408676147460938 × 215)
    floor (0.408676147460938 × 32768)
    floor (13391.5)     		ty = 13391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18599 / 13391 ti = "15/18599/13391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18599/13391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18599 ÷ 215
    18599 ÷ 32768     		x = 0.567596435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13391 ÷ 215
    13391 ÷ 32768     		y = 0.408660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567596435546875 × 2 - 1) × π
    0.13519287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42472093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408660888671875 × 2 - 1) × π
    0.18267822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.573900562251312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42472093} λ = 0.42472093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.573900562251312))-π/2
    2×atan(1.77517775620003)-π/2
    2×1.05778124050008-π/2
    2.11556248100017-1.57079632675     		φ = 0.54476615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42472093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.334717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54476615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.212801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18599 KachelY 13391 0.42472093 0.54476615 24.334717 31.212801
    Oben rechts KachelX + 1 18600 KachelY 13391 0.42491268 0.54476615 24.345703 31.212801
    Unten links KachelX 18599 KachelY + 1 13392 0.42472093 0.54460215 24.334717 31.203405
    Unten rechts KachelX + 1 18600 KachelY + 1 13392 0.42491268 0.54460215 24.345703 31.203405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54476615-0.54460215) × R
    0.000163999999999942 × 6371000     		dl = 1044.84399999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54476615-0.54460215) × R
    0.000163999999999942 × 6371000     		dr = 1044.84399999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42472093-0.42491268) × cos(0.54476615) × R
    0.000191749999999991 × 0.855248499468221 × 6371000     		do = 1044.80513545393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42472093-0.42491268) × cos(0.54460215) × R
    0.000191749999999991 × 0.855333475735648 × 6371000     		du = 1044.90894579754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54476615)-sin(0.54460215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855248499468221-0.855333475735648)×R²
    abs(0.42491268-0.42472093)×8.49762674267618e-05×R²
    0.000191749999999991×8.49762674267618e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.49762674267618e-05×40589641000000     		ar = 1091712.61220195m²