Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18598 / 13851
↖ ↑ ↗
← N 26.794654°
E 24.323730°		 ← 1 090.47 m → N 26.794654°
E 24.334717°		 →
↑
1 090.46 m
↓
↑
1 090.46 m
↓
N 26.784848°
E 24.323730°		 ← 1 090.56 m →
1 189 165 m²		 N 26.784848°
E 24.334717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567581176757812 y=0.422714233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567581176757812 × 215)
    floor (0.567581176757812 × 32768)
    floor (18598.5)     		tx = 18598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422714233398438 × 215)
    floor (0.422714233398438 × 32768)
    floor (13851.5)     		ty = 13851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18598 / 13851 ti = "15/18598/13851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18598/13851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18598 ÷ 215
    18598 ÷ 32768     		x = 0.56756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13851 ÷ 215
    13851 ÷ 32768     		y = 0.422698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56756591796875 × 2 - 1) × π
    0.1351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42452918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422698974609375 × 2 - 1) × π
    0.15460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.485696666950409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42452918} λ = 0.42452918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485696666950409))-π/2
    2×atan(1.6253069121286)-π/2
    2×1.01922563476303-π/2
    2.03845126952606-1.57079632675     		φ = 0.46765494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42452918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.323730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46765494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.794654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18598 KachelY 13851 0.42452918 0.46765494 24.323730 26.794654
    Oben rechts KachelX + 1 18599 KachelY 13851 0.42472093 0.46765494 24.334717 26.794654
    Unten links KachelX 18598 KachelY + 1 13852 0.42452918 0.46748378 24.323730 26.784848
    Unten rechts KachelX + 1 18599 KachelY + 1 13852 0.42472093 0.46748378 24.334717 26.784848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46765494-0.46748378) × R
    0.000171160000000004 × 6371000     		dl = 1090.46036000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46765494-0.46748378) × R
    0.000171160000000004 × 6371000     		dr = 1090.46036000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42452918-0.42472093) × cos(0.46765494) × R
    0.000191749999999991 × 0.892627881231826 × 6371000     		do = 1090.46925535708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42452918-0.42472093) × cos(0.46748378) × R
    0.000191749999999991 × 0.892705026102043 × 6371000     		du = 1090.56349855848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46765494)-sin(0.46748378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892627881231826-0.892705026102043)×R²
    abs(0.42472093-0.42452918)×7.71448702169275e-05×R²
    0.000191749999999991×7.71448702169275e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.71448702169275e-05×40589641000000     		ar = 1189164.88390622m²