Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18597 / 13536
↖ ↑ ↗
← N 29.840644°
E 24.312744°		 ← 1 059.61 m → N 29.840644°
E 24.323730°		 →
↑
1 059.75 m
↓
↑
1 059.75 m
↓
N 29.831113°
E 24.312744°		 ← 1 059.71 m →
1 122 978 m²		 N 29.831113°
E 24.323730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567550659179688 y=0.413101196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567550659179688 × 215)
    floor (0.567550659179688 × 32768)
    floor (18597.5)     		tx = 18597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413101196289062 × 215)
    floor (0.413101196289062 × 32768)
    floor (13536.5)     		ty = 13536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18597 / 13536 ti = "15/18597/13536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18597/13536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18597 ÷ 215
    18597 ÷ 32768     		x = 0.567535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13536 ÷ 215
    13536 ÷ 32768     		y = 0.4130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567535400390625 × 2 - 1) × π
    0.13507080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42433744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4130859375 × 2 - 1) × π
    0.173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.54609716047168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42433744} λ = 0.42433744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54609716047168))-π/2
    2×atan(1.72650159291067)-π/2
    2×1.04580690687431-π/2
    2.09161381374863-1.57079632675     		φ = 0.52081749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42433744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.312744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52081749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.840644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18597 KachelY 13536 0.42433744 0.52081749 24.312744 29.840644
    Oben rechts KachelX + 1 18598 KachelY 13536 0.42452918 0.52081749 24.323730 29.840644
    Unten links KachelX 18597 KachelY + 1 13537 0.42433744 0.52065115 24.312744 29.831113
    Unten rechts KachelX + 1 18598 KachelY + 1 13537 0.42452918 0.52065115 24.323730 29.831113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52081749-0.52065115) × R
    0.000166340000000043 × 6371000     		dl = 1059.75214000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52081749-0.52065115) × R
    0.000166340000000043 × 6371000     		dr = 1059.75214000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42433744-0.42452918) × cos(0.52081749) × R
    0.000191739999999996 × 0.867412695201626 × 6371000     		do = 1059.61013154376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42433744-0.42452918) × cos(0.52065115) × R
    0.000191739999999996 × 0.867495452222693 × 6371000     		du = 1059.71122549646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52081749)-sin(0.52065115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867412695201626-0.867495452222693)×R²
    abs(0.42452918-0.42433744)×8.27570210663042e-05×R²
    0.000191739999999996×8.27570210663042e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.27570210663042e-05×40589641000000     		ar = 1122977.67432522m²