Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18596 / 13538
↖ ↑ ↗
← N 29.821583°
E 24.301758°		 ← 1 059.87 m → N 29.821583°
E 24.312744°		 →
↑
1 059.94 m
↓
↑
1 059.94 m
↓
N 29.812051°
E 24.301758°		 ← 1 059.97 m →
1 123 453 m²		 N 29.812051°
E 24.312744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567520141601562 y=0.413162231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567520141601562 × 215)
    floor (0.567520141601562 × 32768)
    floor (18596.5)     		tx = 18596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413162231445312 × 215)
    floor (0.413162231445312 × 32768)
    floor (13538.5)     		ty = 13538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18596 / 13538 ti = "15/18596/13538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18596/13538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18596 ÷ 215
    18596 ÷ 32768     		x = 0.5675048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13538 ÷ 215
    13538 ÷ 32768     		y = 0.41314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5675048828125 × 2 - 1) × π
    0.135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42414569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41314697265625 × 2 - 1) × π
    0.1737060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.545713665274719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42414569} λ = 0.42414569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545713665274719))-π/2
    2×atan(1.72583961478308)-π/2
    2×1.04564056670562-π/2
    2.09128113341125-1.57079632675     		φ = 0.52048481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42414569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52048481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.821583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18596 KachelY 13538 0.42414569 0.52048481 24.301758 29.821583
    Oben rechts KachelX + 1 18597 KachelY 13538 0.42433744 0.52048481 24.312744 29.821583
    Unten links KachelX 18596 KachelY + 1 13539 0.42414569 0.52031844 24.301758 29.812051
    Unten rechts KachelX + 1 18597 KachelY + 1 13539 0.42433744 0.52031844 24.312744 29.812051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52048481-0.52031844) × R
    0.000166369999999971 × 6371000     		dl = 1059.94326999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52048481-0.52031844) × R
    0.000166369999999971 × 6371000     		dr = 1059.94326999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42414569-0.42433744) × cos(0.52048481) × R
    0.000191749999999991 × 0.867578185241031 × 6371000     		do = 1059.86756353416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42414569-0.42433744) × cos(0.52031844) × R
    0.000191749999999991 × 0.867660909169047 × 6371000     		du = 1059.96862233154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52048481)-sin(0.52031844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867578185241031-0.867660909169047)×R²
    abs(0.42433744-0.42414569)×8.27239280157821e-05×R²
    0.000191749999999991×8.27239280157821e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.27239280157821e-05×40589641000000     		ar = 1123453.0519466m²