Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18596 / 13358
↖ ↑ ↗
← N 31.522362°
E 24.301758°		 ← 1 041.37 m → N 31.522362°
E 24.312744°		 →
↑
1 041.47 m
↓
↑
1 041.47 m
↓
N 31.512996°
E 24.301758°		 ← 1 041.47 m →
1 084 607 m²		 N 31.512996°
E 24.312744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567520141601562 y=0.407669067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567520141601562 × 215)
    floor (0.567520141601562 × 32768)
    floor (18596.5)     		tx = 18596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407669067382812 × 215)
    floor (0.407669067382812 × 32768)
    floor (13358.5)     		ty = 13358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18596 / 13358 ti = "15/18596/13358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18596/13358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18596 ÷ 215
    18596 ÷ 32768     		x = 0.5675048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13358 ÷ 215
    13358 ÷ 32768     		y = 0.40765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5675048828125 × 2 - 1) × π
    0.135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42414569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40765380859375 × 2 - 1) × π
    0.1846923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.58022823300116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42414569} λ = 0.42414569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58022823300116))-π/2
    2×atan(1.78644611018249)-π/2
    2×1.06048266122171-π/2
    2.12096532244342-1.57079632675     		φ = 0.55016900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42414569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55016900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.522362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18596 KachelY 13358 0.42414569 0.55016900 24.301758 31.522362
    Oben rechts KachelX + 1 18597 KachelY 13358 0.42433744 0.55016900 24.312744 31.522362
    Unten links KachelX 18596 KachelY + 1 13359 0.42414569 0.55000553 24.301758 31.512996
    Unten rechts KachelX + 1 18597 KachelY + 1 13359 0.42433744 0.55000553 24.312744 31.512996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55016900-0.55000553) × R
    0.000163470000000054 × 6371000     		dl = 1041.46737000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55016900-0.55000553) × R
    0.000163470000000054 × 6371000     		dr = 1041.46737000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42414569-0.42433744) × cos(0.55016900) × R
    0.000191749999999991 × 0.852436175743761 × 6371000     		do = 1041.36949040842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42414569-0.42433744) × cos(0.55000553) × R
    0.000191749999999991 × 0.852521631586094 × 6371000     		du = 1041.47388661956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55016900)-sin(0.55000553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852436175743761-0.852521631586094)×R²
    abs(0.42433744-0.42414569)×8.54558423337703e-05×R²
    0.000191749999999991×8.54558423337703e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.54558423337703e-05×40589641000000     		ar = 1084606.70941317m²