Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18595 / 13533
↖ ↑ ↗
← N 29.869229°
E 24.290771°		 ← 1 059.36 m → N 29.869229°
E 24.301758°		 →
↑
1 059.43 m
↓
↑
1 059.43 m
↓
N 29.859701°
E 24.290771°		 ← 1 059.46 m →
1 122 377 m²		 N 29.859701°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567489624023438 y=0.413009643554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567489624023438 × 215)
    floor (0.567489624023438 × 32768)
    floor (18595.5)     		tx = 18595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413009643554688 × 215)
    floor (0.413009643554688 × 32768)
    floor (13533.5)     		ty = 13533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18595 / 13533 ti = "15/18595/13533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18595/13533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18595 ÷ 215
    18595 ÷ 32768     		x = 0.567474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13533 ÷ 215
    13533 ÷ 32768     		y = 0.412994384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567474365234375 × 2 - 1) × π
    0.13494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42395394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412994384765625 × 2 - 1) × π
    0.17401123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.54667240326712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42395394} λ = 0.42395394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54667240326712))-π/2
    2×atan(1.72749503622147)-π/2
    2×1.04605635761376-π/2
    2.09211271522752-1.57079632675     		φ = 0.52131639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42395394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.290771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52131639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.869229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18595 KachelY 13533 0.42395394 0.52131639 24.290771 29.869229
    Oben rechts KachelX + 1 18596 KachelY 13533 0.42414569 0.52131639 24.301758 29.869229
    Unten links KachelX 18595 KachelY + 1 13534 0.42395394 0.52115010 24.290771 29.859701
    Unten rechts KachelX + 1 18596 KachelY + 1 13534 0.42414569 0.52115010 24.301758 29.859701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52131639-0.52115010) × R
    0.000166290000000013 × 6371000     		dl = 1059.43359000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52131639-0.52115010) × R
    0.000166290000000013 × 6371000     		dr = 1059.43359000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42395394-0.42414569) × cos(0.52131639) × R
    0.000191750000000046 × 0.86716433990762 × 6371000     		do = 1059.36199383174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42395394-0.42414569) × cos(0.52115010) × R
    0.000191750000000046 × 0.867247144011925 × 6371000     		du = 1059.46315057562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52131639)-sin(0.52115010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86716433990762-0.867247144011925)×R²
    abs(0.42414569-0.42395394)×8.28041043047234e-05×R²
    0.000191750000000046×8.28041043047234e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.28041043047234e-05×40589641000000     		ar = 1122377.26724733m²