Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18595 / 13412
↖ ↑ ↗
← N 31.015279°
E 24.290771°		 ← 1 046.98 m → N 31.015279°
E 24.301758°		 →
↑
1 047.01 m
↓
↑
1 047.01 m
↓
N 31.005863°
E 24.290771°		 ← 1 047.08 m →
1 096 254 m²		 N 31.005863°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567489624023438 y=0.409317016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567489624023438 × 215)
    floor (0.567489624023438 × 32768)
    floor (18595.5)     		tx = 18595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409317016601562 × 215)
    floor (0.409317016601562 × 32768)
    floor (13412.5)     		ty = 13412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18595 / 13412 ti = "15/18595/13412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18595/13412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18595 ÷ 215
    18595 ÷ 32768     		x = 0.567474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13412 ÷ 215
    13412 ÷ 32768     		y = 0.4093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567474365234375 × 2 - 1) × π
    0.13494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42395394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4093017578125 × 2 - 1) × π
    0.181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.569873862683228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42395394} λ = 0.42395394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.569873862683228))-π/2
    2×atan(1.76804402103905)-π/2
    2×1.0560575317182-π/2
    2.11211506343639-1.57079632675     		φ = 0.54131874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42395394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.290771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54131874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.015279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18595 KachelY 13412 0.42395394 0.54131874 24.290771 31.015279
    Oben rechts KachelX + 1 18596 KachelY 13412 0.42414569 0.54131874 24.301758 31.015279
    Unten links KachelX 18595 KachelY + 1 13413 0.42395394 0.54115440 24.290771 31.005863
    Unten rechts KachelX + 1 18596 KachelY + 1 13413 0.42414569 0.54115440 24.301758 31.005863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54131874-0.54115440) × R
    0.000164339999999985 × 6371000     		dl = 1047.0101399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54131874-0.54115440) × R
    0.000164339999999985 × 6371000     		dr = 1047.0101399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42395394-0.42414569) × cos(0.54131874) × R
    0.000191750000000046 × 0.857029924052875 × 6371000     		do = 1046.98139364776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42395394-0.42414569) × cos(0.54115440) × R
    0.000191750000000046 × 0.857114591398774 × 6371000     		du = 1047.08482660071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54131874)-sin(0.54115440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857029924052875-0.857114591398774)×R²
    abs(0.42414569-0.42395394)×8.46673458980707e-05×R²
    0.000191750000000046×8.46673458980707e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.46673458980707e-05×40589641000000     		ar = 1096254.28568357m²