Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18595 / 13283
↖ ↑ ↗
← N 32.222096°
E 24.290771°		 ← 1 033.49 m → N 32.222096°
E 24.301758°		 →
↑
1 033.50 m
↓
↑
1 033.50 m
↓
N 32.212801°
E 24.290771°		 ← 1 033.60 m →
1 068 172 m²		 N 32.212801°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567489624023438 y=0.405380249023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567489624023438 × 215)
    floor (0.567489624023438 × 32768)
    floor (18595.5)     		tx = 18595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405380249023438 × 215)
    floor (0.405380249023438 × 32768)
    floor (13283.5)     		ty = 13283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18595 / 13283 ti = "15/18595/13283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18595/13283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18595 ÷ 215
    18595 ÷ 32768     		x = 0.567474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13283 ÷ 215
    13283 ÷ 32768     		y = 0.405364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567474365234375 × 2 - 1) × π
    0.13494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42395394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405364990234375 × 2 - 1) × π
    0.18927001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.594609302887177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42395394} λ = 0.42395394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.594609302887177))-π/2
    2×atan(1.81232273736084)-π/2
    2×1.06658899554523-π/2
    2.13317799109045-1.57079632675     		φ = 0.56238166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42395394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.290771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56238166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.222096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18595 KachelY 13283 0.42395394 0.56238166 24.290771 32.222096
    Oben rechts KachelX + 1 18596 KachelY 13283 0.42414569 0.56238166 24.301758 32.222096
    Unten links KachelX 18595 KachelY + 1 13284 0.42395394 0.56221944 24.290771 32.212801
    Unten rechts KachelX + 1 18596 KachelY + 1 13284 0.42414569 0.56221944 24.301758 32.212801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56238166-0.56221944) × R
    0.000162219999999991 × 6371000     		dl = 1033.50361999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56238166-0.56221944) × R
    0.000162219999999991 × 6371000     		dr = 1033.50361999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42395394-0.42414569) × cos(0.56238166) × R
    0.000191750000000046 × 0.845987604345993 × 6371000     		do = 1033.49166248278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42395394-0.42414569) × cos(0.56221944) × R
    0.000191750000000046 × 0.846074089334179 × 6371000     		du = 1033.59731593889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56238166)-sin(0.56221944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845987604345993-0.846074089334179)×R²
    abs(0.42414569-0.42395394)×8.64849881854202e-05×R²
    0.000191750000000046×8.64849881854202e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.64849881854202e-05×40589641000000     		ar = 1068171.97337255m²