Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18594 / 19357
↖ ↑ ↗
← S 31.024694°
E 24.279785°		 ← 1 046.88 m → S 31.024694°
E 24.290771°		 →
↑
1 046.82 m
↓
↑
1 046.82 m
↓
S 31.034108°
E 24.279785°		 ← 1 046.77 m →
1 095 838 m²		 S 31.034108°
E 24.290771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567459106445312 y=0.590744018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567459106445312 × 215)
    floor (0.567459106445312 × 32768)
    floor (18594.5)     		tx = 18594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590744018554688 × 215)
    floor (0.590744018554688 × 32768)
    floor (19357.5)     		ty = 19357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18594 / 19357 ti = "15/18594/19357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18594/19357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18594 ÷ 215
    18594 ÷ 32768     		x = 0.56744384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19357 ÷ 215
    19357 ÷ 32768     		y = 0.590728759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56744384765625 × 2 - 1) × π
    0.1348876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42376219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590728759765625 × 2 - 1) × π
    -0.18145751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.570065610281708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42376219} λ = 0.42376219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570065610281708))-π/2
    2×atan(0.565488335633376)-π/2
    2×0.514656632420972-π/2
    1.02931326484194-1.57079632675     		φ = -0.54148306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42376219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.279785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54148306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.024694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18594 KachelY 19357 0.42376219 -0.54148306 24.279785 -31.024694
    Oben rechts KachelX + 1 18595 KachelY 19357 0.42395394 -0.54148306 24.290771 -31.024694
    Unten links KachelX 18594 KachelY + 1 19358 0.42376219 -0.54164737 24.279785 -31.034108
    Unten rechts KachelX + 1 18595 KachelY + 1 19358 0.42395394 -0.54164737 24.290771 -31.034108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54148306--0.54164737) × R
    0.000164309999999945 × 6371000     		dl = 1046.81900999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54148306--0.54164737) × R
    0.000164309999999945 × 6371000     		dr = 1046.81900999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42376219-0.42395394) × cos(-0.54148306) × R
    0.000191749999999991 × 0.856945243868775 × 6371000     		do = 1046.87794501087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42376219-0.42395394) × cos(-0.54164737) × R
    0.000191749999999991 × 0.856860545701725 × 6371000     		du = 1046.77447440559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54148306)-sin(-0.54164737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856945243868775-0.856860545701725)×R²
    abs(0.42395394-0.42376219)×8.46981670498126e-05×R²
    0.000191749999999991×8.46981670498126e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.46981670498126e-05×40589641000000     		ar = 1095837.57895396m²