Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18594 / 13402
↖ ↑ ↗
← N 31.109389°
E 24.279785°		 ← 1 045.95 m → N 31.109389°
E 24.290771°		 →
↑
1 045.99 m
↓
↑
1 045.99 m
↓
N 31.099982°
E 24.279785°		 ← 1 046.05 m →
1 094 104 m²		 N 31.099982°
E 24.290771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567459106445312 y=0.409011840820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567459106445312 × 215)
    floor (0.567459106445312 × 32768)
    floor (18594.5)     		tx = 18594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409011840820312 × 215)
    floor (0.409011840820312 × 32768)
    floor (13402.5)     		ty = 13402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18594 / 13402 ti = "15/18594/13402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18594/13402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18594 ÷ 215
    18594 ÷ 32768     		x = 0.56744384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13402 ÷ 215
    13402 ÷ 32768     		y = 0.40899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56744384765625 × 2 - 1) × π
    0.1348876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42376219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40899658203125 × 2 - 1) × π
    0.1820068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.57179133866803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42376219} λ = 0.42376219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.57179133866803))-π/2
    2×atan(1.77143745536416)-π/2
    2×1.05687879272469-π/2
    2.11375758544939-1.57079632675     		φ = 0.54296126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42376219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.279785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54296126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.109389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18594 KachelY 13402 0.42376219 0.54296126 24.279785 31.109389
    Oben rechts KachelX + 1 18595 KachelY 13402 0.42395394 0.54296126 24.290771 31.109389
    Unten links KachelX 18594 KachelY + 1 13403 0.42376219 0.54279708 24.279785 31.099982
    Unten rechts KachelX + 1 18595 KachelY + 1 13403 0.42395394 0.54279708 24.290771 31.099982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54296126-0.54279708) × R
    0.000164179999999958 × 6371000     		dl = 1045.99077999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54296126-0.54279708) × R
    0.000164179999999958 × 6371000     		dr = 1045.99077999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42376219-0.42395394) × cos(0.54296126) × R
    0.000191749999999991 × 0.856182432595281 × 6371000     		do = 1045.94606481882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42376219-0.42395394) × cos(0.54279708) × R
    0.000191749999999991 × 0.85626724853259 × 6371000     		du = 1046.04967929686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54296126)-sin(0.54279708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856182432595281-0.85626724853259)×R²
    abs(0.42395394-0.42376219)×8.4815937308691e-05×R²
    0.000191749999999991×8.4815937308691e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.4815937308691e-05×40589641000000     		ar = 1094104.13252923m²