Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18593 / 13333
↖ ↑ ↗
← N 31.756196°
E 24.268799°		 ← 1 038.70 m → N 31.756196°
E 24.279785°		 →
↑
1 038.79 m
↓
↑
1 038.79 m
↓
N 31.746854°
E 24.268799°		 ← 1 038.80 m →
1 079 047 m²		 N 31.746854°
E 24.279785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567428588867188 y=0.406906127929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567428588867188 × 215)
    floor (0.567428588867188 × 32768)
    floor (18593.5)     		tx = 18593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406906127929688 × 215)
    floor (0.406906127929688 × 32768)
    floor (13333.5)     		ty = 13333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18593 / 13333 ti = "15/18593/13333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18593/13333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18593 ÷ 215
    18593 ÷ 32768     		x = 0.567413330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13333 ÷ 215
    13333 ÷ 32768     		y = 0.406890869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567413330078125 × 2 - 1) × π
    0.13482666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42357045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406890869140625 × 2 - 1) × π
    0.18621826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.585021922963165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42357045} λ = 0.42357045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585021922963165))-π/2
    2×atan(1.79503033759251)-π/2
    2×1.0625232546924-π/2
    2.1250465093848-1.57079632675     		φ = 0.55425018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42357045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.268799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55425018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.756196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18593 KachelY 13333 0.42357045 0.55425018 24.268799 31.756196
    Oben rechts KachelX + 1 18594 KachelY 13333 0.42376219 0.55425018 24.279785 31.756196
    Unten links KachelX 18593 KachelY + 1 13334 0.42357045 0.55408713 24.268799 31.746854
    Unten rechts KachelX + 1 18594 KachelY + 1 13334 0.42376219 0.55408713 24.279785 31.746854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55425018-0.55408713) × R
    0.000163050000000053 × 6371000     		dl = 1038.79155000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55425018-0.55408713) × R
    0.000163050000000053 × 6371000     		dr = 1038.79155000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42357045-0.42376219) × cos(0.55425018) × R
    0.000191739999999996 × 0.850295313938401 × 6371000     		do = 1038.69995728375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42357045-0.42376219) × cos(0.55408713) × R
    0.000191739999999996 × 0.85038111680904 × 6371000     		du = 1038.80477197178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55425018)-sin(0.55408713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850295313938401-0.85038111680904)×R²
    abs(0.42376219-0.42357045)×8.58028706394176e-05×R²
    0.000191739999999996×8.58028706394176e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.58028706394176e-05×40589641000000     		ar = 1079047.1813086m²