Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18592 / 13286
↖ ↑ ↗
← N 32.194209°
E 24.257813°		 ← 1 033.81 m → N 32.194209°
E 24.268799°		 →
↑
1 033.82 m
↓
↑
1 033.82 m
↓
N 32.184911°
E 24.257813°		 ← 1 033.91 m →
1 068 829 m²		 N 32.184911°
E 24.268799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567398071289062 y=0.405471801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567398071289062 × 215)
    floor (0.567398071289062 × 32768)
    floor (18592.5)     		tx = 18592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405471801757812 × 215)
    floor (0.405471801757812 × 32768)
    floor (13286.5)     		ty = 13286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18592 / 13286 ti = "15/18592/13286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18592/13286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18592 ÷ 215
    18592 ÷ 32768     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13286 ÷ 215
    13286 ÷ 32768     		y = 0.40545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40545654296875 × 2 - 1) × π
    0.1890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.594034060091736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.594034060091736))-π/2
    2×atan(1.81128051155834)-π/2
    2×1.06634563409816-π/2
    2.13269126819632-1.57079632675     		φ = 0.56189494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56189494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.194209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18592 KachelY 13286 0.42337870 0.56189494 24.257813 32.194209
    Oben rechts KachelX + 1 18593 KachelY 13286 0.42357045 0.56189494 24.268799 32.194209
    Unten links KachelX 18592 KachelY + 1 13287 0.42337870 0.56173267 24.257813 32.184911
    Unten rechts KachelX + 1 18593 KachelY + 1 13287 0.42357045 0.56173267 24.268799 32.184911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56189494-0.56173267) × R
    0.000162269999999909 × 6371000     		dl = 1033.82216999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56189494-0.56173267) × R
    0.000162269999999909 × 6371000     		dr = 1033.82216999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42357045) × cos(0.56189494) × R
    0.000191749999999991 × 0.846247024481568 × 6371000     		do = 1033.80858030234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42357045) × cos(0.56173267) × R
    0.000191749999999991 × 0.84633346929321 × 6371000     		du = 1033.9141846772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56189494)-sin(0.56173267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846247024481568-0.84633346929321)×R²
    abs(0.42357045-0.42337870)×8.64448116423278e-05×R²
    0.000191749999999991×8.64448116423278e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.64448116423278e-05×40589641000000     		ar = 1068828.82026959m²