Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18591 / 19362
↖ ↑ ↗
← S 31.071756°
E 24.246826°		 ← 1 046.36 m → S 31.071756°
E 24.257813°		 →
↑
1 046.31 m
↓
↑
1 046.31 m
↓
S 31.081165°
E 24.246826°		 ← 1 046.26 m →
1 094 762 m²		 S 31.081165°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567367553710938 y=0.590896606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567367553710938 × 215)
    floor (0.567367553710938 × 32768)
    floor (18591.5)     		tx = 18591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590896606445312 × 215)
    floor (0.590896606445312 × 32768)
    floor (19362.5)     		ty = 19362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18591 / 19362 ti = "15/18591/19362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18591/19362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18591 ÷ 215
    18591 ÷ 32768     		x = 0.567352294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19362 ÷ 215
    19362 ÷ 32768     		y = 0.59088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567352294921875 × 2 - 1) × π
    0.13470458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42318695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59088134765625 × 2 - 1) × π
    -0.1817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.571024348274109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42318695} λ = 0.42318695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.571024348274109))-π/2
    2×atan(0.564946440291079)-π/2
    2×0.514245940964341-π/2
    1.02849188192868-1.57079632675     		φ = -0.54230444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42318695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.246826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54230444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.071756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18591 KachelY 19362 0.42318695 -0.54230444 24.246826 -31.071756
    Oben rechts KachelX + 1 18592 KachelY 19362 0.42337870 -0.54230444 24.257813 -31.071756
    Unten links KachelX 18591 KachelY + 1 19363 0.42318695 -0.54246867 24.246826 -31.081165
    Unten rechts KachelX + 1 18592 KachelY + 1 19363 0.42337870 -0.54246867 24.257813 -31.081165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54230444--0.54246867) × R
    0.000164229999999987 × 6371000     		dl = 1046.30932999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54230444--0.54246867) × R
    0.000164229999999987 × 6371000     		dr = 1046.30932999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42318695-0.42337870) × cos(-0.54230444) × R
    0.000191749999999991 × 0.856521609462021 × 6371000     		do = 1046.36041659192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42318695-0.42337870) × cos(-0.54246867) × R
    0.000191749999999991 × 0.856436836975277 × 6371000     		du = 1046.2568551948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54230444)-sin(-0.54246867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856521609462021-0.856436836975277)×R²
    abs(0.42337870-0.42318695)×8.47724867438782e-05×R²
    0.000191749999999991×8.47724867438782e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.47724867438782e-05×40589641000000     		ar = 1094762.49025544m²