Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18590 / 13535
↖ ↑ ↗
← N 29.850173°
E 24.235840°		 ← 1 059.56 m → N 29.850173°
E 24.246826°		 →
↑
1 059.56 m
↓
↑
1 059.56 m
↓
N 29.840644°
E 24.235840°		 ← 1 059.67 m →
1 122 727 m²		 N 29.840644°
E 24.246826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567337036132812 y=0.413070678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567337036132812 × 215)
    floor (0.567337036132812 × 32768)
    floor (18590.5)     		tx = 18590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413070678710938 × 215)
    floor (0.413070678710938 × 32768)
    floor (13535.5)     		ty = 13535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18590 / 13535 ti = "15/18590/13535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18590/13535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18590 ÷ 215
    18590 ÷ 32768     		x = 0.56732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13535 ÷ 215
    13535 ÷ 32768     		y = 0.413055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56732177734375 × 2 - 1) × π
    0.1346435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42299520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413055419921875 × 2 - 1) × π
    0.17388916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.54628890807016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42299520} λ = 0.42299520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54628890807016))-π/2
    2×atan(1.72683267718618)-π/2
    2×1.04589006505748-π/2
    2.09178013011497-1.57079632675     		φ = 0.52098380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42299520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52098380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.850173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18590 KachelY 13535 0.42299520 0.52098380 24.235840 29.850173
    Oben rechts KachelX + 1 18591 KachelY 13535 0.42318695 0.52098380 24.246826 29.850173
    Unten links KachelX 18590 KachelY + 1 13536 0.42299520 0.52081749 24.235840 29.840644
    Unten rechts KachelX + 1 18591 KachelY + 1 13536 0.42318695 0.52081749 24.246826 29.840644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52098380-0.52081749) × R
    0.000166310000000003 × 6371000     		dl = 1059.56101000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52098380-0.52081749) × R
    0.000166310000000003 × 6371000     		dr = 1059.56101000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42299520-0.42318695) × cos(0.52098380) × R
    0.000191749999999991 × 0.867329929112132 × 6371000     		do = 1059.56428410305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42299520-0.42318695) × cos(0.52081749) × R
    0.000191749999999991 × 0.867412695201626 × 6371000     		du = 1059.66539440654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52098380)-sin(0.52081749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867329929112132-0.867412695201626)×R²
    abs(0.42318695-0.42299520)×8.27660894940907e-05×R²
    0.000191749999999991×8.27660894940907e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.27660894940907e-05×40589641000000     		ar = 1122726.57187944m²