Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18590 / 13491
↖ ↑ ↗
← N 30.268556°
E 24.235840°		 ← 1 055.10 m → N 30.268556°
E 24.246826°		 →
↑
1 055.17 m
↓
↑
1 055.17 m
↓
N 30.259067°
E 24.235840°		 ← 1 055.20 m →
1 113 354 m²		 N 30.259067°
E 24.246826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567337036132812 y=0.411727905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567337036132812 × 215)
    floor (0.567337036132812 × 32768)
    floor (18590.5)     		tx = 18590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411727905273438 × 215)
    floor (0.411727905273438 × 32768)
    floor (13491.5)     		ty = 13491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18590 / 13491 ti = "15/18590/13491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18590/13491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18590 ÷ 215
    18590 ÷ 32768     		x = 0.56732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13491 ÷ 215
    13491 ÷ 32768     		y = 0.411712646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56732177734375 × 2 - 1) × π
    0.1346435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42299520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411712646484375 × 2 - 1) × π
    0.17657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.55472580240329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42299520} λ = 0.42299520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.55472580240329))-π/2
    2×atan(1.74146341421978)-π/2
    2×1.0495411465761-π/2
    2.09908229315219-1.57079632675     		φ = 0.52828597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42299520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52828597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.268556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18590 KachelY 13491 0.42299520 0.52828597 24.235840 30.268556
    Oben rechts KachelX + 1 18591 KachelY 13491 0.42318695 0.52828597 24.246826 30.268556
    Unten links KachelX 18590 KachelY + 1 13492 0.42299520 0.52812035 24.235840 30.259067
    Unten rechts KachelX + 1 18591 KachelY + 1 13492 0.42318695 0.52812035 24.246826 30.259067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52828597-0.52812035) × R
    0.000165619999999977 × 6371000     		dl = 1055.16501999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52828597-0.52812035) × R
    0.000165619999999977 × 6371000     		dr = 1055.16501999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42299520-0.42318695) × cos(0.52828597) × R
    0.000191749999999991 × 0.863672301983669 × 6371000     		do = 1055.09598324105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42299520-0.42318695) × cos(0.52812035) × R
    0.000191749999999991 × 0.863755771515487 × 6371000     		du = 1055.1979528973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52828597)-sin(0.52812035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863672301983669-0.863755771515487)×R²
    abs(0.42318695-0.42299520)×8.34695318175926e-05×R²
    0.000191749999999991×8.34695318175926e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.34695318175926e-05×40589641000000     		ar = 1113354.17421018m²