Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18590 / 13400
↖ ↑ ↗
← N 31.128199°
E 24.235840°		 ← 1 045.74 m → N 31.128199°
E 24.246826°		 →
↑
1 045.80 m
↓
↑
1 045.80 m
↓
N 31.118794°
E 24.235840°		 ← 1 045.84 m →
1 093 687 m²		 N 31.118794°
E 24.246826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567337036132812 y=0.408950805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567337036132812 × 215)
    floor (0.567337036132812 × 32768)
    floor (18590.5)     		tx = 18590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408950805664062 × 215)
    floor (0.408950805664062 × 32768)
    floor (13400.5)     		ty = 13400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18590 / 13400 ti = "15/18590/13400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18590/13400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18590 ÷ 215
    18590 ÷ 32768     		x = 0.56732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13400 ÷ 215
    13400 ÷ 32768     		y = 0.408935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56732177734375 × 2 - 1) × π
    0.1346435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42299520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408935546875 × 2 - 1) × π
    0.18212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.57217483386499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42299520} λ = 0.42299520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.57217483386499))-π/2
    2×atan(1.77211692339804)-π/2
    2×1.0570429473837-π/2
    2.11408589476739-1.57079632675     		φ = 0.54328957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42299520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54328957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.128199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18590 KachelY 13400 0.42299520 0.54328957 24.235840 31.128199
    Oben rechts KachelX + 1 18591 KachelY 13400 0.42318695 0.54328957 24.246826 31.128199
    Unten links KachelX 18590 KachelY + 1 13401 0.42299520 0.54312542 24.235840 31.118794
    Unten rechts KachelX + 1 18591 KachelY + 1 13401 0.42318695 0.54312542 24.246826 31.118794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54328957-0.54312542) × R
    0.00016415000000003 × 6371000     		dl = 1045.79965000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54328957-0.54312542) × R
    0.00016415000000003 × 6371000     		dr = 1045.79965000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42299520-0.42318695) × cos(0.54328957) × R
    0.000191749999999991 × 0.856012757335308 × 6371000     		do = 1045.73878286149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42299520-0.42318695) × cos(0.54312542) × R
    0.000191749999999991 × 0.856097603915797 × 6371000     		du = 1045.84243477444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54328957)-sin(0.54312542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856012757335308-0.856097603915797)×R²
    abs(0.42318695-0.42299520)×8.48465804883514e-05×R²
    0.000191749999999991×8.48465804883514e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.48465804883514e-05×40589641000000     		ar = 1093687.45513073m²