Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18589 / 15154
↖ ↑ ↗
← N 13.389620°
E 24.224853°		 ← 1 188.43 m → N 13.389620°
E 24.235840°		 →
↑
1 188.45 m
↓
↑
1 188.45 m
↓
N 13.378932°
E 24.224853°		 ← 1 188.49 m →
1 412 420 m²		 N 13.378932°
E 24.235840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567306518554688 y=0.462478637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567306518554688 × 215)
    floor (0.567306518554688 × 32768)
    floor (18589.5)     		tx = 18589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462478637695312 × 215)
    floor (0.462478637695312 × 32768)
    floor (15154.5)     		ty = 15154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18589 / 15154 ti = "15/18589/15154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18589/15154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18589 ÷ 215
    18589 ÷ 32768     		x = 0.567291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15154 ÷ 215
    15154 ÷ 32768     		y = 0.46246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567291259765625 × 2 - 1) × π
    0.13458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42280345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46246337890625 × 2 - 1) × π
    0.0750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.235849546130676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42280345} λ = 0.42280345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.235849546130676))-π/2
    2×atan(1.26598382367275)-π/2
    2×0.902244637126937-π/2
    1.80448927425387-1.57079632675     		φ = 0.23369295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42280345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.224853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23369295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.389620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18589 KachelY 15154 0.42280345 0.23369295 24.224853 13.389620
    Oben rechts KachelX + 1 18590 KachelY 15154 0.42299520 0.23369295 24.235840 13.389620
    Unten links KachelX 18589 KachelY + 1 15155 0.42280345 0.23350641 24.224853 13.378932
    Unten rechts KachelX + 1 18590 KachelY + 1 15155 0.42299520 0.23350641 24.235840 13.378932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23369295-0.23350641) × R
    0.000186540000000013 × 6371000     		dl = 1188.44634000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23369295-0.23350641) × R
    0.000186540000000013 × 6371000     		dr = 1188.44634000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42280345-0.42299520) × cos(0.23369295) × R
    0.000191749999999991 × 0.972817847958441 × 6371000     		do = 1188.43246616651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42280345-0.42299520) × cos(0.23350641) × R
    0.000191749999999991 × 0.972861028410386 × 6371000     		du = 1188.48521710143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23369295)-sin(0.23350641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972817847958441-0.972861028410386)×R²
    abs(0.42299520-0.42280345)×4.31804519451795e-05×R²
    0.000191749999999991×4.31804519451795e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.31804519451795e-05×40589641000000     		ar = 1412419.56467642m²