Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18589 / 13268
↖ ↑ ↗
← N 32.361403°
E 24.224853°		 ← 1 031.90 m → N 32.361403°
E 24.235840°		 →
↑
1 031.97 m
↓
↑
1 031.97 m
↓
N 32.352123°
E 24.224853°		 ← 1 032.01 m →
1 064 954 m²		 N 32.352123°
E 24.235840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567306518554688 y=0.404922485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567306518554688 × 215)
    floor (0.567306518554688 × 32768)
    floor (18589.5)     		tx = 18589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404922485351562 × 215)
    floor (0.404922485351562 × 32768)
    floor (13268.5)     		ty = 13268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18589 / 13268 ti = "15/18589/13268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18589/13268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18589 ÷ 215
    18589 ÷ 32768     		x = 0.567291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13268 ÷ 215
    13268 ÷ 32768     		y = 0.4049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567291259765625 × 2 - 1) × π
    0.13458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42280345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4049072265625 × 2 - 1) × π
    0.190185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.59748551686438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42280345} λ = 0.42280345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.59748551686438))-π/2
    2×atan(1.81754286885816)-π/2
    2×1.06780468259892-π/2
    2.13560936519784-1.57079632675     		φ = 0.56481304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42280345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.224853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56481304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.361403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18589 KachelY 13268 0.42280345 0.56481304 24.224853 32.361403
    Oben rechts KachelX + 1 18590 KachelY 13268 0.42299520 0.56481304 24.235840 32.361403
    Unten links KachelX 18589 KachelY + 1 13269 0.42280345 0.56465106 24.224853 32.352123
    Unten rechts KachelX + 1 18590 KachelY + 1 13269 0.42299520 0.56465106 24.235840 32.352123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56481304-0.56465106) × R
    0.000161980000000006 × 6371000     		dl = 1031.97458000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56481304-0.56465106) × R
    0.000161980000000006 × 6371000     		dr = 1031.97458000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42280345-0.42299520) × cos(0.56481304) × R
    0.000191749999999991 × 0.844688687002839 × 6371000     		do = 1031.90485407358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42280345-0.42299520) × cos(0.56465106) × R
    0.000191749999999991 × 0.844775376996218 × 6371000     		du = 1032.01075797208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56481304)-sin(0.56465106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844688687002839-0.844775376996218)×R²
    abs(0.42299520-0.42280345)×8.66899933784637e-05×R²
    0.000191749999999991×8.66899933784637e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.66899933784637e-05×40589641000000     		ar = 1064954.22577712m²