Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18588 / 15153
↖ ↑ ↗
← N 13.400307°
E 24.213867°		 ← 1 188.32 m → N 13.400307°
E 24.224853°		 →
↑
1 188.38 m
↓
↑
1 188.38 m
↓
N 13.389620°
E 24.213867°		 ← 1 188.37 m →
1 412 207 m²		 N 13.389620°
E 24.224853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567276000976562 y=0.462448120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567276000976562 × 215)
    floor (0.567276000976562 × 32768)
    floor (18588.5)     		tx = 18588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462448120117188 × 215)
    floor (0.462448120117188 × 32768)
    floor (15153.5)     		ty = 15153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18588 / 15153 ti = "15/18588/15153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18588/15153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18588 ÷ 215
    18588 ÷ 32768     		x = 0.5672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15153 ÷ 215
    15153 ÷ 32768     		y = 0.462432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5672607421875 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42261171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462432861328125 × 2 - 1) × π
    0.07513427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.236041293729156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42261171} λ = 0.42261171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236041293729156))-π/2
    2×atan(1.26622659630545)-π/2
    2×0.902337902798837-π/2
    1.80467580559767-1.57079632675     		φ = 0.23387948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42261171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23387948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.400307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18588 KachelY 15153 0.42261171 0.23387948 24.213867 13.400307
    Oben rechts KachelX + 1 18589 KachelY 15153 0.42280345 0.23387948 24.224853 13.400307
    Unten links KachelX 18588 KachelY + 1 15154 0.42261171 0.23369295 24.213867 13.389620
    Unten rechts KachelX + 1 18589 KachelY + 1 15154 0.42280345 0.23369295 24.224853 13.389620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23387948-0.23369295) × R
    0.00018652999999999 × 6371000     		dl = 1188.38262999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23387948-0.23369295) × R
    0.00018652999999999 × 6371000     		dr = 1188.38262999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42261171-0.42280345) × cos(0.23387948) × R
    0.000191740000000051 × 0.972774635972717 × 6371000     		do = 1188.31770123699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42261171-0.42280345) × cos(0.23369295) × R
    0.000191740000000051 × 0.972817847958441 × 6371000     		du = 1188.37048794179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23387948)-sin(0.23369295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972774635972717-0.972817847958441)×R²
    abs(0.42280345-0.42261171)×4.32119857234348e-05×R²
    0.000191740000000051×4.32119857234348e-05×6371000²
    0.000191740000000051×4.32119857234348e-05×40589641000000     		ar = 1412207.4845676m²