Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18588 / 13362
↖ ↑ ↗
← N 31.484893°
E 24.213867°		 ← 1 041.73 m → N 31.484893°
E 24.224853°		 →
↑
1 041.79 m
↓
↑
1 041.79 m
↓
N 31.475524°
E 24.213867°		 ← 1 041.84 m →
1 085 317 m²		 N 31.475524°
E 24.224853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567276000976562 y=0.407791137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567276000976562 × 215)
    floor (0.567276000976562 × 32768)
    floor (18588.5)     		tx = 18588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407791137695312 × 215)
    floor (0.407791137695312 × 32768)
    floor (13362.5)     		ty = 13362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18588 / 13362 ti = "15/18588/13362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18588/13362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18588 ÷ 215
    18588 ÷ 32768     		x = 0.5672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13362 ÷ 215
    13362 ÷ 32768     		y = 0.40777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5672607421875 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42261171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40777587890625 × 2 - 1) × π
    0.1844482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.579461242607239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42261171} λ = 0.42261171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579461242607239))-π/2
    2×atan(1.78507644850254)-π/2
    2×1.0601556905107-π/2
    2.12031138102139-1.57079632675     		φ = 0.54951505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42261171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54951505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.484893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18588 KachelY 13362 0.42261171 0.54951505 24.213867 31.484893
    Oben rechts KachelX + 1 18589 KachelY 13362 0.42280345 0.54951505 24.224853 31.484893
    Unten links KachelX 18588 KachelY + 1 13363 0.42261171 0.54935153 24.213867 31.475524
    Unten rechts KachelX + 1 18589 KachelY + 1 13363 0.42280345 0.54935153 24.224853 31.475524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54951505-0.54935153) × R
    0.000163519999999973 × 6371000     		dl = 1041.78591999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54951505-0.54935153) × R
    0.000163519999999973 × 6371000     		dr = 1041.78591999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42261171-0.42280345) × cos(0.54951505) × R
    0.000191740000000051 × 0.852777898974375 × 6371000     		do = 1041.73262243997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42261171-0.42280345) × cos(0.54935153) × R
    0.000191740000000051 × 0.852863289774134 × 6371000     		du = 1041.83693375229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54951505)-sin(0.54935153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852777898974375-0.852863289774134)×R²
    abs(0.42280345-0.42261171)×8.53907997593328e-05×R²
    0.000191740000000051×8.53907997593328e-05×6371000²
    0.000191740000000051×8.53907997593328e-05×40589641000000     		ar = 1085316.71590866m²