Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18587 / 51362
↖ ↑ ↗
← S 70.905863°
W 77.898560°		 ← 199.82 m → S 70.905863°
W 77.893066°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
S 70.907659°
W 77.898560°		 ← 199.80 m →
39 922 m²		 S 70.907659°
W 77.893066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283622741699219 y=0.783729553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283622741699219 × 216)
    floor (0.283622741699219 × 65536)
    floor (18587.5)     		tx = 18587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783729553222656 × 216)
    floor (0.783729553222656 × 65536)
    floor (51362.5)     		ty = 51362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18587 / 51362 ti = "16/18587/51362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18587/51362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18587 ÷ 216
    18587 ÷ 65536     		x = 0.283615112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51362 ÷ 216
    51362 ÷ 65536     		y = 0.783721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283615112304688 × 2 - 1) × π
    -0.432769775390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.35958635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.56744384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78267742307065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35958635} λ = -1.35958635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78267742307065))-π/2
    2×atan(0.168187235512643)-π/2
    2×0.16662778401017-π/2
    0.33325556802034-1.57079632675     		φ = -1.23754076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35958635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.898560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23754076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.905863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18587 KachelY 51362 -1.35958635 -1.23754076 -77.898560 -70.905863
    Oben rechts KachelX + 1 18588 KachelY 51362 -1.35949047 -1.23754076 -77.893066 -70.905863
    Unten links KachelX 18587 KachelY + 1 51363 -1.35958635 -1.23757212 -77.898560 -70.907659
    Unten rechts KachelX + 1 18588 KachelY + 1 51363 -1.35949047 -1.23757212 -77.893066 -70.907659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23754076--1.23757212) × R
    3.13600000001468e-05 × 6371000     		dl = 199.794560000935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23754076--1.23757212) × R
    3.13600000001468e-05 × 6371000     		dr = 199.794560000935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35958635--1.35949047) × cos(-1.23754076) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.327121209776163 × 6371000     		do = 199.822475131491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35958635--1.35949047) × cos(-1.23757212) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.327091574967618 × 6371000     		du = 199.804372664832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23754076)-sin(-1.23757212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327121209776163-0.327091574967618)×R²
    abs(-1.35949047--1.35958635)×2.96348085446207e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.96348085446207e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.96348085446207e-05×40589641000000     		ar = 39921.6351134216m²