Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18587 / 13525
↖ ↑ ↗
← N 29.945415°
E 24.202881°		 ← 1 058.55 m → N 29.945415°
E 24.213867°		 →
↑
1 058.54 m
↓
↑
1 058.54 m
↓
N 29.935895°
E 24.202881°		 ← 1 058.65 m →
1 120 575 m²		 N 29.935895°
E 24.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567245483398438 y=0.412765502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567245483398438 × 215)
    floor (0.567245483398438 × 32768)
    floor (18587.5)     		tx = 18587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412765502929688 × 215)
    floor (0.412765502929688 × 32768)
    floor (13525.5)     		ty = 13525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18587 / 13525 ti = "15/18587/13525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18587/13525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18587 ÷ 215
    18587 ÷ 32768     		x = 0.567230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13525 ÷ 215
    13525 ÷ 32768     		y = 0.412750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567230224609375 × 2 - 1) × π
    0.13446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42241996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412750244140625 × 2 - 1) × π
    0.17449951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.548206384054962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42241996} λ = 0.42241996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.548206384054962))-π/2
    2×atan(1.73014701393953)-π/2
    2×1.0467212101455-π/2
    2.093442420291-1.57079632675     		φ = 0.52264609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42241996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.202881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52264609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.945415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18587 KachelY 13525 0.42241996 0.52264609 24.202881 29.945415
    Oben rechts KachelX + 1 18588 KachelY 13525 0.42261171 0.52264609 24.213867 29.945415
    Unten links KachelX 18587 KachelY + 1 13526 0.42241996 0.52247994 24.202881 29.935895
    Unten rechts KachelX + 1 18588 KachelY + 1 13526 0.42261171 0.52247994 24.213867 29.935895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52264609-0.52247994) × R
    0.000166149999999976 × 6371000     		dl = 1058.54164999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52264609-0.52247994) × R
    0.000166149999999976 × 6371000     		dr = 1058.54164999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42241996-0.42261171) × cos(0.52264609) × R
    0.000191749999999991 × 0.866501353504969 × 6371000     		do = 1058.55206361974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42241996-0.42261171) × cos(0.52247994) × R
    0.000191749999999991 × 0.866584279424621 × 6371000     		du = 1058.65336917803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52264609)-sin(0.52247994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866501353504969-0.866584279424621)×R²
    abs(0.42261171-0.42241996)×8.29259196521992e-05×R²
    0.000191749999999991×8.29259196521992e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.29259196521992e-05×40589641000000     		ar = 1120575.06868884m²