Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18586 / 15150
↖ ↑ ↗
← N 13.432366°
E 24.191894°		 ← 1 188.22 m → N 13.432366°
E 24.202881°		 →
↑
1 188.19 m
↓
↑
1 188.19 m
↓
N 13.421681°
E 24.191894°		 ← 1 188.27 m →
1 411 866 m²		 N 13.421681°
E 24.202881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567214965820312 y=0.462356567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567214965820312 × 215)
    floor (0.567214965820312 × 32768)
    floor (18586.5)     		tx = 18586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462356567382812 × 215)
    floor (0.462356567382812 × 32768)
    floor (15150.5)     		ty = 15150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18586 / 15150 ti = "15/18586/15150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18586/15150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18586 ÷ 215
    18586 ÷ 32768     		x = 0.56719970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15150 ÷ 215
    15150 ÷ 32768     		y = 0.46234130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56719970703125 × 2 - 1) × π
    0.1343994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42222821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46234130859375 × 2 - 1) × π
    0.0753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.236616536524597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42222821} λ = 0.42222821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236616536524597))-π/2
    2×atan(1.26695519357244)-π/2
    2×0.902617674935553-π/2
    1.80523534987111-1.57079632675     		φ = 0.23443902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42222821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.191894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23443902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.432366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18586 KachelY 15150 0.42222821 0.23443902 24.191894 13.432366
    Oben rechts KachelX + 1 18587 KachelY 15150 0.42241996 0.23443902 24.202881 13.432366
    Unten links KachelX 18586 KachelY + 1 15151 0.42222821 0.23425252 24.191894 13.421681
    Unten rechts KachelX + 1 18587 KachelY + 1 15151 0.42241996 0.23425252 24.202881 13.421681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23443902-0.23425252) × R
    0.000186500000000006 × 6371000     		dl = 1188.19150000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23443902-0.23425252) × R
    0.000186500000000006 × 6371000     		dr = 1188.19150000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42222821-0.42241996) × cos(0.23443902) × R
    0.000191749999999991 × 0.972644808559377 × 6371000     		do = 1188.22107444481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42222821-0.42241996) × cos(0.23425252) × R
    0.000191749999999991 × 0.972688115106565 × 6371000     		du = 1188.27397942264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23443902)-sin(0.23425252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972644808559377-0.972688115106565)×R²
    abs(0.42241996-0.42222821)×4.33065471876493e-05×R²
    0.000191749999999991×4.33065471876493e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.33065471876493e-05×40589641000000     		ar = 1411865.61549111m²